Circulation d'un champ de vecteurs
Dernière modif : 01/10/2016
La circulation d'un champ de vecteurs est liée au rotationnel du champ. Cette circulation va nous être utile pour démontrer que l'électromagnétisme est une théorie relativiste.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,graphicx,bbm,xcolor} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \newcommand{\exterior}{\wedge} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\tmtextbf}[1]{{\bfseries{#1}}} \newcommand{\tmtextit}[1]{{\itshape{#1}}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Circulation d'un champ de vecteurs} \maketitle \section{Introduction} La circulation d'un champ de vecteurs est li{\'e}e au rotationnel du champ, propri{\'e}t{\'e} que nous avons pr{\'e}c{\'e}demment {\'e}tudi{\'e}e. Cette circulation va nous {\^e}tre utile pour d{\'e}montrer que l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme est une th{\'e}orie relativiste. \section{D{\'e}finition de la circulation} Soit le champ vectoriel : $\vec{V} : \mathbbm{R}^3 \longrightarrow \mathbbm{R}^3$ Consid{\'e}rons maintenant une courbe $\mathcal{C}$ imaginaire ferm{\'e}e dans l'espace, (une boucle, on parle aussi de chemin lorsque la courbe n'est pas ferm{\'e}e). Si le champ vectoriel est d{\'e}fini en tout point de l'espace, ces vecteurs sont d{\'e}finis pour tous les points de cette courbe. Et en chaque point de cette courbe, les vecteurs de l'espace vectoriel ont une composante tangentielle {\`a} la courbe. \begin{tabular}{p{12.0cm}} \resizebox{469px}{351px}{\includegraphics{img3.jpg}} \end{tabular} On peut donc calculer l'int{\'e}grale de {\tmstrong{toutes}} ces composantes tangentielles {\`a} la courbe (c'est ce qu'on appelle une int{\'e}grale curviligne, qui est donc calcul{\'e}e sur l'int{\'e}gralit{\'e} de la courbe) : \begin{eqnarray*} \oint_{\mathcal{C}} V_t d s & = & \oint_{\mathcal{C}} \vec{V} \cdot \overrightarrow{d s} \end{eqnarray*} $\overrightarrow{d s}$ {\'e}tant un {\'e}l{\'e}ment infinit{\'e}simal du chemin. $V_t$ {\'e}tant la projection du vecteur $\vec{E}$ sur la tangente {\`a} la courbe. $\vec{V} \cdot \overrightarrow{d s}$ est le produit scalaire (point au milieu de la ligne, pas en bas) des vecteurs $\vec{V}$. $\overrightarrow{d s}$ est le produit de leur module par le cosinus de l'angle qu'ils font entre eux. C'est cette int{\'e}grale curviligne que l'on appelle la circulation de l'espace vectoriel $\vec{E}$ le long de la courbe $\mathcal{C}$. Cela peut correspondre {\`a} la circulation d'un liquide par exemple mais d'un point de vue math{\'e}matique la circulation est d{\'e}finie pour des champs vectoriels m{\^e}me lorsque rien de mat{\'e}riel ne {\guillemotleft} circule {\guillemotright} (comme par exemple dans le cas d'un champ magn{\'e}tique). \section{Relation entre la circulation et le rotationnel} \subsection{Calcul sur un {\'e}l{\'e}ment de surface infinit{\'e}simal} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Consid{\'e}rons un {\'e}l{\'e}ment de surface carr{\'e} infinit{\'e}simal dans un espace ou est d{\'e}fini le champs vectoriel $\vec{V}$. Cet {\'e}l{\'e}ment de surface est d{\'e}limit{\'e} par une courbe, en l'occurrence un chemin carr{\'e} ferm{\'e}. Afin de grandement simplifier les calculs, choisissons judicieusement l'orientation de notre carr{\'e} dans l'espace : dans le plan $x 0 y$ avec ses c{\^o}t{\'e}s \ parall{\`e}les aux axes $x$ et $y$. \ & \resizebox{563px}{456px}{\includegraphics{carre1.jpg}} \end{tabular} Calculons la circulation de $\vec{V}$ le long de ce carr{\'e}. L'int{\'e}grale curviligne $\oint_{\mathcal{C}} \vec{V} \cdot \overrightarrow{d s}$ du produit scalaire se r{\'e}sume ici {\`a} une somme de quatre termes correspondants au quatre c{\^o}t{\'e}s {\tmstrong{A, B, C, D}} du carr{\'e}. \begin{eqnarray} \oint_{\mathcal{C}} \vec{V} \cdot \overrightarrow{d s} & = & V_{x_A} \Delta x + V_{y_B} \Delta y - V_{x_C} \Delta x - V_{y_D} \Delta y \end{eqnarray} expression dans laquelle $V_{x_A}$ d{\'e}signe la {\tmem{composante en}} $x$ (projection) du vecteur $\vec{V}$ concernant le c{\^o}t{\'e} A, plus pr{\'e}cis{\'e}ment le vecteur au point $(x, y)$ et ainsi de suite pour les trois autres. Les signes indiquent le sens de parcours de chaque c{\^o}t{\'e} lorsque l'on tourne toujours dans le m{\^e}me sens (ici le sens trigonom{\'e}trique). Nous pouvons consid{\'e}rer, puisque notre carr{\'e} est par d{\'e}finition de taille infinit{\'e}simale, que les composantes $V_{x_A}$ et $V_{x_C}$ du vecteur $\vec{V}$ sont li{\'e}es par la relation suivante : \begin{eqnarray*} V_{x_C} & = & V_{x_A} + \frac{\partial V_x}{\partial y} \Delta y \end{eqnarray*} de m{\^e}me pour les composantes $V_{y_B}$ et $V_{y_D}$ \begin{eqnarray*} V_{y_B} & = & V_{y_D} + \frac{\partial V_y}{\partial x} \Delta x \end{eqnarray*} Dans (1), les termes \ $V_{x_A} \Delta x - V_{x_C} \Delta x$ deviennent : \begin{eqnarray*} V_{x_A} \Delta x - V_{x_C} \Delta x & = & (V_{x_A} - V_{x_C}) \Delta x\\ & = & \left( V_{x_A} - V_{x_A} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \Delta y \right) \Delta x\\ & = & - \frac{\partial V_x}{\partial y} \Delta x . \Delta y \end{eqnarray*} de m{\^e}me les termes $V_{y_B} \Delta y - V_{y_D} \Delta y$ deviennent : \begin{eqnarray*} V_{y_B} \Delta y - V_{y_D} \Delta y & = & (V_{y_B} - V_{y_D}) \Delta y\\ & & \\ & = & \left( V_{y_D} + \frac{\partial V_y}{\partial x} \Delta x - V_{y_D} \right) \Delta y\\ & & \\ & = & \frac{\partial V_y}{\partial x} \Delta x . \Delta y \end{eqnarray*} Au total, la circulation a comme valeur : \begin{eqnarray*} \oint_{\mathcal{C}} \vec{V} \cdot \overrightarrow{d s} & = & \frac{\partial V_y}{\partial x} \Delta x . \Delta y - \frac{\partial V_x}{\partial y} \Delta x . \Delta y\\ & & \\ & = & \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) \Delta x . \Delta y \end{eqnarray*} Nous remarquons que $d x .d y$ repr{\'e}sente l'aire du petit carr{\'e} ($\Delta x . \Delta y = \Delta a$), mais ce n'est pas tout : le facteur $\left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right)$ lui aussi nous est connu ! C'est exactement la composante suivant l'axe $z$ du rotationnel de $\vec{V}$, telle que nous l'avions calcul{\'e}e lors de l'{\'e}tude du rotationnel. \begin{eqnarray*} \tmop{rot} \vec{V}_z & = & \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \end{eqnarray*} Et cette composante suivant l'axe des $z$ est donc la composante du rotationnel de $\vec{V}$ {\tmstrong{normale}} {\`a} notre petite surface. On peut en d{\'e}duire que {\tmem{quel que soit l'orientation de la surface}}, le seul facteur {\`a} prendre en compte d{\'e}pendant du champ vectoriel sera toujours la composante normale {\`a} la surface du rotationnel du champ vectoriel {\`a} l'endroit consid{\'e}r{\'e}. Donc, concernant une surface infinit{\'e}simale, nous {\'e}crirons : \begin{eqnarray*} \oint_{\mathcal{C}} \vec{V} \cdot \overrightarrow{d s} & = & (\tmop{rot} \vec{V}_z)_n \times \Delta a \end{eqnarray*} l'indice $()_n$ signifie {\guillemotleft} la composante normale de {\guillemotright}. La circulation de tout vecteur $\vec{V}$ le long d'un carr{\'e} infinit{\'e}simal est le produit de [ la composante normale {\`a} la surface du rotationnel de $\vec{V}$ ] par [ l'aire $\Delta a$ du carr{\'e} ]. Soit $\vec{n}$ le vecteur unitaire normal {\`a} la surface, il vient : \begin{eqnarray*} \oint_{\mathcal{C}} \vec{V} \cdot \overrightarrow{d s} & = & (\nabla \exterior \vec{V}) \cdot \vec{n} \Delta a \end{eqnarray*} Ce qui se dit : La circulation de tout vecteur $\vec{V}$ le long d'un carr{\'e} infinit{\'e}simal est [ le produit scalaire du rotationnel de $\vec{V}$ ] par [ le vecteur unitaire normal au carr{\'e} multipli{\'e} par l'aire du carr{\'e} $\Delta a$ ]. \subsection{G{\'e}n{\'e}ralisation pour une surface quelconque} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Reprenons notre courbe de d{\'e}part et voyons ce qui se passe lorsqu'on la fragmente en deux courbes juxtapos{\'e}es (ayant un segment commun) : & \resizebox{483px}{328px}{\includegraphics{img4.jpg}} \end{tabular} La circulation suivant la courbe globale reste inchang{\'e}e : \begin{eqnarray*} \tmop{circulation} (\vec{V})_c & = & \oint_{\mathcal{C}} V_t d s \end{eqnarray*} Calculons les circulations dans chacune des petites courbes. La courbe de gauche est compos{\'e}e du chemin $C_1$ et du chemin $C_0$ (commun aux deux courbes). Sa circulation est donc : \begin{eqnarray*} \oint_{\mathcal{C}_{\tmop{gauche}}} V_t d s_{\tmop{gauche}} & = & \oint_{\mathcal{C}_{\tmop{gauche}}} V_t (d s_1 + d s_0)\\ & = & \oint_{\mathcal{C}_1} V_t d s_1 + \oint_{\mathcal{C}_0} V_t d s_0 \end{eqnarray*} $d s_1$d{\'e}signant les {\'e}l{\'e}ments infinit{\'e}simaux du chemin $C_1$ et ainsi de suite. La courbe de droite est compos{\'e}e du chemin $C_2$ et du chemin $C_0$. Sa circulation est donc : \begin{eqnarray*} \oint_{\mathcal{C}_{\tmop{droite}}} V_t d s_{\tmop{droite}} & = & \oint_{\mathcal{C}_{\tmop{droite}}} V_t (d s_2 - d s_0)\\ & = & \oint_{\mathcal{C}_1} V_t d s_2 - \oint_{\mathcal{C}_0} V_t d s_0 \end{eqnarray*} Pourquoi le signe $(-)$ dans cette seconde expression ? Parce que cette fois le segment commun est parcouru dans le sens oppos{\'e} {\`a} celui employ{\'e} pour le parcours pr{\'e}c{\'e}dent. Calculons la somme de ces deux circulations : \begin{eqnarray*} \tmop{circulation} \tmop{droite} + \tmop{circulation} \tmop{gauche} & = & \oint_{\mathcal{C}_1} V_t d s_1 + \oint_{\mathcal{C}_0} V_t d s_0 + \oint_{\mathcal{C}_1} V_t d s_2 - \oint_{\mathcal{C}_0} V_t d s_0\\ & = & \oint_{\mathcal{C}_1} V_t d s_1 + \oint_{\mathcal{C}_1} V_t d s_2\\ & = & \oint_{\mathcal{C}_1} V_t d s_1 + V_t d s_2\\ & = & \oint_{\mathcal{C}_1} V_t (d s_1 + d s_2)\\ & = & \oint_{\mathcal{C}_1} V_t d s\\ & = & \tmop{circulation} \tmop{le} \tmop{long} \tmop{de} \tmop{la} \tmop{courbe} \tmop{ext} {\'e} \tmop{rieure} \end{eqnarray*} Donc pour conna{\^i}tre la circulation le long d'une boucle quelconque, on peut la d{\'e}couper en deux boucles plus petites et faire la somme des circulations. Et le proc{\'e}d{\'e} peut {\^e}tre r{\'e}p{\'e}t{\'e} pour chacune des petites boucles : Fractionnement en deux boucles plus petites puis sommation des int{\'e}grales curvilignes... Une grande boucle pourra ainsi {\^e}tre fractionn{\'e}es en un grand nombre de petites boucles infinit{\'e}simales qui s'appuieront sur la boucle principale. Ce r{\'e}sultat est tr{\`e}s int{\'e}ressant parce qu'on venait justement d'apprendre {\`a} calculer la valeur de la circulation le long d'une boucle infinit{\'e}simale (carr{\'e}e). D{\`e}s lors si l'on a affaire {\`a} une grande boucle, on peut consid{\'e}rer la surface qu'elle d{\'e}limite, puis d{\'e}couper cette surface en un grand nombre de surfaces carr{\'e}es infinit{\'e}simales et calculer la somme des circulations. Nous obtenons le th{\'e}or{\`e}me de Stokes : {\noindent}{\color[HTML]{504000}\tmtextbf{Th{\'e}or{\`e}me . }}\tmtextit{de STOCKES :}{\hspace*{\fill}}{\medskip} \begin{eqnarray*} \oint_{c_{}} \vec{V} \cdot d s & = & \bigiint_s (\nabla \exterior \vec{V})_n d a \end{eqnarray*} $d s$ est un segment infinit{\'e}simal de la courbe. $d a$ est une surface infinit{\'e}simale, partie de $S$. $S$ est une surface s'appuyant sur la boucle $C$ On a affaire {\`a} une int{\'e}grale double puisque nous int{\'e}grons sur une surface. l'indice $()_n$ signifie {\guillemotleft} la composante normale de {\guillemotright}. \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
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