Solution des équations de Maxwell
Dernière modif : 05/09/2016
Résolution de l'équation des ondes. Ondes planes progressives. Comment se propagents les ondes électromagnétiques.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,graphicx} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\exterior}{\wedge} \newcommand{\nobracket}{} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmmathbf}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\tmtextbf}[1]{{\bfseries{#1}}} \newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}} \newenvironment{itemizeminus}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$-$}\renewcommand{\labelitemii}{$-$}\renewcommand{\labelitemiii}{$-$}\renewcommand{\labelitemiv}{$-$}}{\end{itemize}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Solution des {\'e}quations de Maxwell} \maketitle \section{Rappel des {\'e}quations d'ondes {\'e}lectromagn{\'e}tiques :} Nous avons trouv{\'e} par le calcul que les champs {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques dans le vide, loin de toutes charges, ob{\'e}issent aux {\'e}quations d'ondes suivantes, qui sont dites {\'e}quations de d'Alembert scalaires : \begin{eqnarray} \Delta \vec{\tmmathbf{E}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial t^2} & = & 0 \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \Delta \vec{\tmmathbf{B}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{B}}}{\partial t^2} & = & 0 \end{eqnarray} Ces deux {\'e}quations sont identiques, au type de champ pr{\`e}s. Elles peuvent se d{\'e}velopper ainsi : \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial t^2} & = & 0 \end{eqnarray} C'est une {\'e}quation d'onde en trois dimensions d'espace et une de temps. Sa grande sym{\'e}trie, {\`a} peine perturb{\'e}e pas un facteur $\frac{- 1}{c^2}$ qui permet {\`a} la dimension temporelle de se distinguer des trois dimensions d'espace, est remarquable. \section{R{\'e}solution de l'{\'e}quation d'onde} \subsection{Champ nul} Une solution {\'e}vidente de l'{\'e}quation $\begin{array}{lll} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial t^2} & = & 0 \end{array}$est $\vec{E} = \vec{0}$ lorsque le champ {\'e}lectrique est partout nul dans l'espace consid{\'e}r{\'e} (comme par exemple {\`a} l'int{\'e}rieur d'un volume ne contenant aucune charge d{\'e}limit{\'e} par une surface conductrice, commun{\'e}ment appel{\'e} {\guillemotleft} cage de Faraday {\guillemotright} ). \subsection{Champ constant} Une seconde solution est un champ constant dans l'espace et dans le temps : toutes les d{\'e}riv{\'e}es partielles s'annulent et la somme est bien nulle. Cette solution est int{\'e}ressante parce qu'elle va nous permettre de r{\'e}soudre l'{\'e}quation d'onde dans un cas plus simple que le cas g{\'e}n{\'e}ral o{\`u} $\vec{E}$ varie suivant tous les axes. \subsection{Onde plane} Nous allons nous placer dans le cas o{\`u} le champ {\'e}lectrique ne varie que suivant une seule direction, qui {\tmstrong{en orientant judicieusement les axes du rep{\`e}re}} cart{\'e}sien peut se ramener au cas ou $\vec{E}$ ne varie que suivant l'axe $x$, c'est {\`a} dire que $\vec{E}$ a la m{\^e}me valeur en tout points d'un plan orthogonal {\`a} l'axe $x$, et que si on le mesure sur un autre plan orthogonal {\`a} $x$, donc un plan parall{\`e}le au premier, mais d{\'e}cal{\'e} suivant l'axe des $x$, on trouvera une valeur diff{\'e}rente, mais identique pour tous les points constituant ce deuxi{\`e}me plan. Il s'agit alors d'une onde plane se propageant (comme nous allons le voir) dans la directions des $x$. A un instant donn{\'e}, pour tous les points situ{\'e}s {\`a} une m{\^e}me abscisse $x$ le champ est identique ( je n'emploie pas le mot {\guillemotleft} constant {\guillemotright} parce que justement cette valeur identique n'a aucune raison d'{\^e}tre constante dans le temps). Ces points {\'e}quipotentiels (nous avons abord{\'e} cette notion dans un article pr{\'e}c{\'e}dent) forment donc un plan orthogonal {\`a} l'axe des $x$. Ajoutons comme hypoth{\`e}se que le vecteur $ \vec{\tmmathbf{E}}$ soit orient{\'e} suivant l'axe $y$ (on dit que l'onde est polaris{\'e}e rectilignement suivant l'axe $0 y$) Ce qui peut s'obtenir simplement en orientant judicieusement le rep{\`e}re. \ \begin{tabular}{p{12.0cm}} \resizebox{881px}{589px}{\includegraphics{fig1.jpg}} \end{tabular} \ Munissons ce rep{\`e}re des vecteurs unitaires $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ sur les axes $x, y, z$ respectivement. Dans ce cas nous avons : $\vec{E} \left\{ \begin{array}{l} E_x = 0\\ E_y\\ E_z = 0 \end{array} \right.$ $\vec{E} = 0 \times \vec{i} + E_y \vec{j} + 0 \times \vec{k} = E_y \vec{j}$ \ $\frac{\partial^{}}{\partial y^{}} \vec{\tmmathbf{E}} = 0$\qquad ($\vec{\tmmathbf{E}}$ est de m{\^e}me valeur partout dans le plan $y 0 z$) $\rightarrow$ $\frac{\partial^2}{\partial y^2} \vec{\tmmathbf{E}} = 0$ $\frac{\partial^{}}{\partial z^{}} \vec{\tmmathbf{E}} = 0$\qquad ($\vec{\tmmathbf{E}}$ est de m{\^e}me valeur partout dans le plan $y 0 z$) $\rightarrow$ $\frac{\partial^2}{\partial z^2} \vec{\tmmathbf{E}} = 0$ et donc l'{\'e}quation de d'Alembert se simplifie en: \begin{eqnarray} \begin{array}{l} \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} \end{array} & = & 0 \end{eqnarray} (Le premier terme qui {\'e}tait le laplacien $\Delta \vec{\tmmathbf{E}}$ est devenu une simple d{\'e}riv{\'e}e du second ordre sur une seule composante du vecteur). \subsubsection{Calcul de la solution \ : onde plane progressive} Consid{\'e}rons une fonction (presque) quelconque $f_{_+} (x, t)$ telle que : \begin{eqnarray*} f_{_+} (x, t) & = & f_{_+} (x - v t, 0) \end{eqnarray*} La fonction $f_+$ se translate dans l'espace. Pla{\c c}ons nous {\tmstrong{en une position fixe}} par rapport {\`a} $x$, et voyons comment {\'e}volue la fonction. \begin{tabular}{p{12.0cm}} \resizebox{879px}{586px}{\includegraphics{fig2.jpg}} \end{tabular} Au temps $t$ elle prend en $x$ la valeur qu'elle avait au temps $t_0 = 0$ {\`a} l'abscisse $x - v t$ ($v t$ produit d'une vitesse par un temps est une longueur) $\begin{array}{lll} f_+ (x, t) & = & f_+ (x - v t, 0) \end{array}$ Une onde de la forme $f_+ (x \tmop{ct})$ est dite {\tmem{onde plane progressive}}. \begin{itemizeminus} \item d{\'e}rivons deux fois $f$par rapport {\`a} $x$ \end{itemizeminus} \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} f_+ (x, t) & = & \frac{\partial^2}{\partial x^2} f_+ (x - v t, 0)\\ & & \\ & = & f_+'' (x - v t, 0) \end{eqnarray*} \begin{itemizeminus} \item d{\'e}rivons maintenant $(f_+ (x - v t, 0) \nobracket$ par rapport {\`a} $t$ \end{itemizeminus} \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t} (f_+ (x - v t, 0) \nobracket & = & - v f_+ (x - v t, 0) \end{eqnarray*} \begin{itemizeminus} \item d{\'e}rivons une seconde fois par rapport {\`a} $t$ \end{itemizeminus} \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial t^2} (f_+ (x - v t, 0) \nobracket & = & v^2 f_+ (x - v t, 0)\\ & & \end{eqnarray*} \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline {\tmstrong{remarque}} : une fonction $g (x, t)$ telle que $g (x, t) = g (x + v t)$ aboutit au m{\^e}me r{\'e}sultat. On {\'e}crit g{\'e}n{\'e}ralement $f_+ (x - v t)$ et $f_- (x + v t)$ ces deux fonctions. D'o{\`u} le petit (+) en indice dans les lignes pr{\'e}c{\'e}dentes.\\ \hline \end{tabular} nous pouvons {\'e}crire : \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial t^2} f_+ & = & v^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} f_+ \end{eqnarray*} ou encore : \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial x^2} f_+ - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} f_+ & = & 0 \end{eqnarray*} Cette fonction $f_+ $ telle qu'elle a {\'e}t{\'e} choisie est donc solution de notre {\'e}quation : \begin{eqnarray*} \begin{array}{lll} \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} & = & 0 \end{array} & & \end{eqnarray*} {\`a} la condition que $v = c$. \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline La vitesse de d{\'e}placement du signal {\'e}lectromagn{\'e}tique est $c$, {\tmem{la vitesse de la lumi{\`e}re}}. Un solution plus g{\'e}n{\'e}rale de l'{\'e}quation est la somme de $f_+$ et $f_-$ On la note g{\'e}n{\'e}ralement $\phi = f_+ (x \tmop{ct}) + f_- (x + \tmop{ct})$\\ \hline \end{tabular} \ Les {\tmem{variations}} du champ {\'e}lectrique $\vec{\tmmathbf{E}}$ se d{\'e}placent, accompagn{\'e}es de variations du champ magn{\'e}tique $\vec{\tmmathbf{B}},$ {\`a} la vitesse de la lumi{\`e}re dans le vide. Nous n'avons fait aucune hypoth{\`e}se sur la forme\quad de la fonction $f$ ce qui signifie qu'elle n'est pas forc{\'e}ment sinuso{\"i}dale, {\tmem{ni m{\^e}me p{\'e}riodique dans le temps}}. Elle est juste {\tmstrong{progressive}}. Il en est de m{\^e}me pour le champ. Le champ ne peut {\^e}tre {\'e}mis que par un d{\'e}placement de charges (car la charge se conserve) suivant une fonction arbitraire d{\'e}pendant du temps. Toutefois les calculs que nous ferons sur le couplage qui existe entre les charges en mouvement et le champ sont plus simples dans le cas de fonctions sinuso{\"i}dales dans le temps. Et cela ne pose pas de probl{\`e}me puisque nous savons que n'importe quelle fonction continue p{\'e}riodique peut {\^e}tre obtenue en faisant la somme de fonctions sinuso{\"i}dales ou d{\'e}compos{\'e}e en fonctions sinuso{\"i}dales par la d{\'e}composition en s{\'e}rie de Fourier (ou remplac{\'e}e par sa transform{\'e}e de Fourier si elle n'est pas p{\'e}riodique). La d{\'e}rivation {\'e}tant une op{\'e}ration lin{\'e}aire, les {\'e}quations de Maxwell sont lin{\'e}aires, et la d{\'e}composition en s{\'e}rie de Fourier est permise pour les champs {\'e}lectromagn{\'e}tiques dans le vide. \subsubsection{Orthogonalit{\'e} de $\vec{\tmmathbf{E}}$ et de $\vec{\tmmathbf{B}}$} Avant de parler des charges, il nous faut pr{\'e}ciser le lien entre le champ $\vec{\tmmathbf{E}}$ et le champ $\vec{\tmmathbf{B}}$ au sein de l'onde {\'e}lectromagn{\'e}tique. Nous allons montrer qu'ils sont orthogonaux. D{\'e}j{\`a} remarquons que le champ {\'e}lectrique $\vec{\tmmathbf{E}}$ peut {\^e}tre produit de deux fa{\c c}ons : soit par la pr{\'e}sence d'une charge {\'e}lectrique (c'est l'{\'e}quation $\vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{E}} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ ) ou bien par la variation du champ magn{\'e}tique $\vec{\tmmathbf{B}}$ (c'est l'{\'e}quation $\vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}} = - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}}$ ). Dans le cas qui nous occupe, seule la deuxi{\`e}me fa{\c c}on intervient puisque nous nous pla{\c c}ons {\`a} tr{\`e}s grande distance de toutes charges. Le champ {\'e}lectrique est donc uniquement produit par les variations du champ magn{\'e}tique suivant l'{\'e}quation : \begin{eqnarray*} \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}} & = & - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}} \end{eqnarray*} $\vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}}$ est le rotationnel de $\vec{\tmmathbf{E}}$, c'est un produit vectoriel de l'op{\'e}rateur diff{\'e}rentiel nabla par le vecteur champ {\'e}lectrique. Nous avons vu lors de l'{\'e}tude des vecteurs que le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur orthogonal au plan form{\'e} par les vecteurs, il est orthogonal aux deux vecteurs (oui c'est un abus de notation, nabla n'est pas vraiment un vecteur, c'est un op{\'e}rateur diff{\'e}rentiel !) Donc $(\vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}})$ est un vecteur orthogonal {\`a} $ \vec{\tmmathbf{E}}$. De plus nous sommes plac{\'e}s dans le cas o{\`u} $ \vec{\tmmathbf{E}}$ ne varie que suivant l'axe $x$. Mais faisons le calcul par les composantes ce qui sera plus rigoureux. Les composantes du rotationnel {\'e}tant : $\vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}} = \tmop{rot} \vec{E} = \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} E_x\\ \\ E_y\\ \\ E_z \end{array}\right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial y} E_z - \frac{\partial}{\partial z} E_y\\ \frac{\partial}{\partial z} E_x - \frac{\partial}{\partial x} E_z\\ \frac{\partial}{\partial x} E_y - \frac{\partial}{\partial y} E_x \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial y} 0 - 0\\ \frac{\partial}{\partial z} 0 - \frac{\partial}{\partial x} 0\\ \frac{\partial}{\partial x} E_y - \frac{\partial}{\partial y} 0 \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} 0\\ 0\\ \frac{\partial}{\partial x} E_y \end{array} \right.$ \ Mais si $E_z$ n'est pas nul, $\frac{\partial}{\partial y} E_z$ lui, est nul puisque $\vec{E}$ a m{\^e}me valeur partout dans le plan $x 0 y$, donc en particulier lorsqu'on se d{\'e}place suivant $y.$ $\tmop{rot} \vec{E}$ devient donc $\left\{ \begin{array}{l} (\tmop{rot} E)_x = 0\\ (\tmop{rot} E_y) = 0\\ (\tmop{rot} E)_z = \frac{\partial}{\partial x} E_y \end{array} \right.$ sa seule composante non nulle est suivant l'axe des $z$. \ Voyons maintenant ce qu'il en est pour le vecteur $\vec{\tmmathbf{B}}$. \begin{eqnarray*} \tmop{rot} \vec{E} = \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}} & = & - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}}\\ & & \\ & = & \frac{\partial E_y}{\partial x} \vec{k} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} E_y \vec{k} & = & - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}} = - \frac{\partial}{\partial t} (B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k})\\ & & \\ & = & - \left. \frac{\partial B_x}{\partial t} \vec{i} - \frac{\partial B_y}{\partial t} \vec{j} - \frac{\partial B_z}{\partial t} \vec{k} \right) \end{eqnarray*} On identifie (les coefficients des vecteurs $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ ): \begin{eqnarray} \frac{\partial B_x}{\partial t} & = & 0 \nonumber\\ & & \nonumber\\ \frac{\partial B_y}{\partial t} & = & 0 \quad \nonumber\\ & & \nonumber\\ \frac{\partial B_z}{\partial t} & = & - \frac{\partial E_y}{\partial x} \end{eqnarray} Donc $\vec{\tmmathbf{B}}$ est orient{\'e} suivant l'axe $z$ (du moins ses variations, sa seule composante de $\vec{\tmmathbf{B}}$ qui varie est $\tmmathbf{B}_z$, les autres composantes de $\vec{\tmmathbf{B}}$ ayant des d{\'e}riv{\'e}es partielles temporelles nulles sont constantes, elles pourraient donc ne pas {\^e}tre nulles -mais cela n'a pas d'importance pour notre onde {\'e}lectromagn{\'e}tique-, toutefois si {\`a} $t = 0$ elles {\'e}taient nulles elle n'ont plus de raison de ne pas le rester), il est donc orthogonal {\`a} $ \vec{\tmmathbf{E}}$ (axe des $y$) et au sens de d{\'e}placement de l'onde (axe $x$). $(\vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}})$ est donc un vecteur orthogonal {\`a} $ \vec{\tmmathbf{E}}$ (orient{\'e} suivant $y$) {\tmem{et {\`a} la direction}} dans laquelle $ \vec{\tmmathbf{E}}$ varie ($x$). \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline {\tmstrong{Attention}} : il faut {\'e}viter de parler du d{\'e}placement du champ $ \vec{\tmmathbf{E}}$, ce qui n'a pas vraiment de sens physique : En chaque point de l'espace $ \vec{\tmmathbf{E}}$ se cr{\'e}e - est cr{\'e}{\'e} par la variation de $\overrightarrow{\tmmathbf{B}}$- sont module augmente, puis diminue, varie... C'est cette variation qui se d{\'e}place tout comme la houle ne d{\'e}place pas d'eau dans son sens de propagation, mais fait osciller un volume d'eau dans le sens perpendiculaire. De m{\^e}me pour le champ $\overrightarrow{\tmmathbf{B}}$.\\ \hline \end{tabular} \ Le m{\^e}me raisonnement appliqu{\'e} au champ magn{\'e}tique en consid{\'e}rant l'{\'e}quation $\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{B}} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}}$ (dans notre cas o{\`u} le courant $j$ est nul) m{\`e}ne {\`a} la m{\^e}me conclusion pour le champ $\vec{\tmmathbf{B}}$ : les {\tmem{variations}} du champ {\'e}lectrique $\begin{array}{l} \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}} \end{array}$ se produisent dans la direction du vecteur rotationnel $(\vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{B}})$, c'est {\`a} dire dans une direction orthogonale {\`a} $ \vec{\tmmathbf{B}}$ {\tmem{et {\`a} la direction}} dans laquelle $ \vec{\tmmathbf{B}}$ varie. \ {\tmstrong{\subsubsection{Les champs magn{\'e}tique et {\'e}lectrique sont ils en phase ?}}} On a envie de r{\'e}pondre {\guillemotleft} non, ils sont en quadrature de phase parce que ce sont les variations de l'un qui produisent l'autre et alors c'est bien connu c'est quand on passe par z{\'e}ro que la variation est la plus grande, et bla bla bla... {\guillemotright} ERREUR ! Ils sont en phase et nous allons le d{\'e}montrer maintenant. Pour r{\'e}pondre {\`a} la question, {\'e}tudions le cas o{\`u} le champ est une fonction sinuso{\"i}dale du temps : \includegraphics{latex-1.eps} La seule composante non nulle de $\vec{\tmmathbf{E}}$ est $E_y$ soit $E_y (0, t) = a \cos (\omega t)$ $E_y (x, t) = f_+ (x - c t) = E_y \left( 0, t - \frac{x}{c} \right)$ (la fonction $E_y $au point $x$ a la valeur qu'elle avait au point $x = 0$ au temps $t - \frac{x}{c}$ ) $c$ est la c{\'e}l{\'e}rit{\'e}, ici la vitesse de la lumi{\`e}re. $E_y (x, t) = a \cos \left( \omega \left[ t - \frac{x}{c} \right] \right)$ pour $x < \tmop{ct}$ posons $k = \frac{\omega}{c}$ le vecteur d'onde. \begin{eqnarray*} E_y (x, t) & = & a \cos \left( \omega \left[ t - \frac{x}{c} \right] \right)\\ & & \\ & = & a \cos \left( \omega t - \frac{\omega x}{c} \right)\\ & & \\ & = & a \cos (\omega t - k x) \end{eqnarray*} La pulsation $\omega$ aussi appel{\'e}e vitesse angulaire (en radians/seconde) est {\'e}gale {\`a} $\omega = 2 \pi f$ $\tmem{f}$ \ {\'e}tant la fr{\'e}quence (en Hertz) La fr{\'e}quence $\tmem{f}$ est li{\'e}e {\`a} la p{\'e}riode temporelle $T$ par la relation $f = \frac{1}{T}$ ce qui nous donne $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ la p{\'e}riode temporelle. $k = \frac{\omega}{c}$ le vecteur d'onde. $\omega = k c$ $\lambda = \tmop{cT} = \frac{2 \pi}{k}$\quad c'est la {\guillemotleft} p{\'e}riode spatiale {\guillemotright} c'est {\`a} dire la longueur d'onde. La p{\'e}riode $T$ est un temps, c'est la dur{\'e}e qui s{\'e}pare les instants o{\`u} le signal p{\'e}riodique se trouve dans des {\'e}tats identiques (m{\^e}me valeur et m{\^e}me sens de variation, par exemple deux maximums, deux minimums, ou dans le cas d'un signal sinuso{\"i}dal, deux passages par z{\'e}ro dans le m{\^e}me sens). \begin{eqnarray*} E_y (x, t) & = & a \cos \left( \omega \left[ t - \frac{x}{c} \right] \right)\\ & & \\ & = & a \cos \left( \frac{2 \pi}{T} \left[ t - \frac{x}{c} \right] \right)\\ & & \\ & = & a \cos \left( 2 \pi \left[ \frac{t}{T} - \frac{x}{\tmop{cT}} \right] \right)\\ & & \\ & = & a \cos \left( 2 \pi \left[ \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right] \right) \end{eqnarray*} $\vec{\tmmathbf{E}} = 0 \vec{i} + a \cos (\omega t - k x) \vec{j} + 0 \vec{k} = a \cos (\omega t - k x) \vec{j}$ $E_y = a \cos (\omega t - k x)$ Nous avons vu que la seule composante non nulle de $\vec{\tmmathbf{B}}$ est $B_z$ telle que : $- \frac{\partial}{\partial t} B_z \vec{k} = \frac{\partial}{\partial x} E_y \vec{k}$\quad$\Rightarrow$ $\frac{\partial}{\partial t} B_z \vec{k} = - \frac{\partial}{\partial x} E_y \vec{k}$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t} B_z & = & - \frac{\partial}{\partial x} E_y\\ & = & - \frac{\partial}{\partial x} [a \cos (\omega t - k x)]\\ & = & k \times - a \sin (\omega t - k x)\\ & = & - a k \sin (\omega t - k x) \end{eqnarray*} int{\'e}grons par rapport au temps : \begin{eqnarray*} B_z & = & \int_t - a k \sin (\omega t - k x) \partial t\\ & = & - a k \int_t \sin (\omega t - k x) \partial t\\ & = & - a k \left[ - \frac{1}{\omega} \cos (\omega t - k x) \right]\\ & = & \frac{a k}{\omega} \cos (\omega t - k x) \end{eqnarray*} Nous voyons que les composantes $E_y (x, t) = a \cos (\omega t - k x)$ et $B_z = \frac{a k}{\omega} \cos (\omega t - k x)$ sont en phase (m{\^e}me terme dans le cosinus). \begin{eqnarray} \frac{B_z}{E_y} & = & \frac{\frac{a k}{\omega} \cos (\omega t - k x)}{a \cos (\omega t - k x)} \nonumber\\ & & \nonumber\\ & = & \frac{a k \cos (\omega t - k x)}{a \omega \cos (\omega t - k x)} \nonumber\\ & & \nonumber\\ & = & \frac{k}{\omega} \nonumber\\ & & \nonumber\\ & = & \frac{k}{k c} \nonumber\\ & & \nonumber\\ \frac{B_z}{E_y} & = & \frac{1}{c} \end{eqnarray} \includegraphics{latex-2.eps} \subsubsection{Calcul de la relation entre $\vec{\tmmathbf{E}}$ et $\vec{\tmmathbf{B}}$ par les nombres complexes} Je suis {\'e}lectronicien. En {\'e}lectronique nous avons l'habitude de traiter les signaux, les imp{\'e}dances et les d{\'e}phasages en utilisant les nombres complexes. J'en ai abondamment parl{\'e} sur ce site dans les pages d{\'e}di{\'e}e aux math{\'e}matiques. Je vous y renvoie le cas {\'e}ch{\'e}ant. Nous allons donc recalculer la relation entre le champ {\'e}lectrique et le champ magn{\'e}tique dans le cas de l'onde plane par les complexes. \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline {\tmstrong{Rappel}} : nombre complexe\quad$c = a + i b$ avec $i$ : imaginaire pur, tel que $i^2 = - 1$\\ \hline \end{tabular} soit $E_y =\mathbf{R}e [E_0 e^{i \omega (t - x / c)}]$, ou, par abus de notation (en omettant de noter {\guillemotleft} $\mathbf{R}e$ {\guillemotright} qui signifie {\guillemotleft} partie r{\'e}elle de {\guillemotright}): \begin{eqnarray*} E_y & = & E_0 e^{i \omega (t - x / c)}\\ B_z & = & B_0 e^{i \omega (t - x / c)} \end{eqnarray*} calculons les d{\'e}riv{\'e}es : \begin{eqnarray*} \frac{\partial E_y}{\partial t} & = & i \omega E_0 e^{i \omega (t - x / c)} = i \omega E_y\\ \frac{\partial E_y}{\partial x} & = & - i \frac{\omega}{c} E_y \end{eqnarray*} facile non ? m{\^e}me chose pour le champ $\vec{\tmmathbf{B}}$ : \begin{eqnarray*} \frac{\partial B_z}{\partial t} & = & i \omega B_z \\ \frac{\partial B_z}{\partial x} & = & - i \frac{\omega}{c} B_z \end{eqnarray*} en utilisant (5) -> $\begin{array}{lll} \hline \frac{\partial B_z}{\partial t} & = & - \frac{\partial E_y}{\partial x}\\ \hline \end{array}$ il vient : \begin{eqnarray*} i \omega B_z & = & i \frac{\omega}{c} E_y\\ \frac{B_z}{E_y} & = & \frac{1}{c} \end{eqnarray*} Nous obtenons le m{\^e}me r{\'e}sultat qu'en (6) au terme d'un calcul beaucoup plus simple. \ {\tmstrong{En conclusion }}: Les champs $\vec{\tmmathbf{E}}$ et $\vec{\tmmathbf{B}}$ varient. Les variations de $\vec{\tmmathbf{E}}$ cr{\'e}ent le champ $\vec{\tmmathbf{B}}$ et les variations de \tmtextbf{$\vec{\tmmathbf{B}}$} cr{\'e}ent le champ $\vec{\tmmathbf{E}}$. Ces variations des champs {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques se propagent dans l'espace {\`a} la vitesse $c$ qui est la vitesse de la lumi{\`e}re. Les champs $\vec{\tmmathbf{E}}$ et $\vec{\tmmathbf{B}}$ sont orthogonaux entre eux {\tmstrong{et}} {\`a} la direction de propagation (on dit que les ondes {\'e}lectromagn{\'e}tiques planes progressives dans le vide sont transversales). Cette variation conjointe des champs {\'e}lectrique et magn{\'e}tique s'appelle une onde {\'e}lectromagn{\'e}tique. Sa forme (dans le temps) et sa fr{\'e}quence (et partant sa longueur d'onde dans l'espace qui est li{\'e}e {\`a} sa fr{\'e}quence et {\`a} la vitesse de d{\'e}placement $\lambda = \frac{c}{\nu}$) peuvent {\^e}tre quelconques, couvrant des ph{\'e}nom{\`e}nes bien connus dans une tr{\`e}s tr{\`e}s large gamme de fr{\'e}quences qui s'{\'e}tend contin{\^u}ment. par ordre de fr{\'e}quences croissantes citons : \begin{itemizedot} \item ...ondes radio (BF, HF, GO, PO, OC, VHF, UHF, SHF, EHF, micro-ondes...) \item lumi{\`e}re (IR, visible, UVA, UVB...) \item rayons X \item rayons gamma... \end{itemizedot} \subsubsection{Une petite question na{\"i}ve :} - Ces deux champs {\'e}lectrique et magn{\'e}tique qui interagissent entre eux cela fait penser {\`a} ce qui se passe dans un circuit oscillant LC : le courant qui passe dans la self charge le condensateur qui ensuite se d{\'e}charge {\`a} travers le self et ainsi de suite... Et alors la tension aux bornes du condensateur est en quadrature de phase avec le courant parce que c'est {\`a} l'instant o{\`u} le condensateur est totalement d{\'e}charg{\'e} que le courant est le plus fort, entretenu par la self-induction. Mais ici le champ magn{\'e}tique et le champ {\'e}lectrique sont en phase. - En effet, c'est toute la diff{\'e}rence et la limite de la comparaison, les ph{\'e}nom{\`e}nes ne sont pas identiques. - {\c c}a je l'ai bien compris, mais... - mais quoi ? - mais dans le cas du circuit LC, ce qui recharge le condensateur en sens inverse, {\`a} l'instant ou sa tension s'annule, c'est le courant dans le circuit qui, lui, n'est justement pas nul {\`a} cet instant. Mais dans le cas de cette onde {\'e}lectromagn{\'e}tique, vous nous dites que les champs sont en phase, c'est {\`a} dire qu'ils s'annulent pr{\'e}cis{\'e}ment tous les deux en m{\^e}me temps, c'est bien {\c c}a ? - oui, en effet. - mais alors, {\`a} cet instant pr{\'e}cis o{\`u} tout est nul, E=0 et B=0, pourquoi tout ne s'arr{\^e}te-il pas d{\'e}finitivement ? O{\`u} et comment est stock{\'e}e l'information qui permet {\`a} l'oscillation suivante de se produire ? - Mais c'est tr{\`e}s simple, {\c c}a fera l'objet d'un article. D{\'e}j{\`a} remarquons que les variations de $\vec{\tmmathbf{E}}$ ne cr{\'e}ent pas directement $\vec{\tmmathbf{B}}$ mais cr{\'e}ent les variations de $\vec{\tmmathbf{B}}$ et vice versa. Et lorsque les champs sont nuls, leurs variations ne le sont pas. Ensuite si l'on reprend les {\'e}quations de Maxwell, les variations d'un champ dans le temps cr{\'e}ent des variations de l'autre champ dans l'espace. {\`a} suivre... \ \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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