Les ondes électromagnétiques
Dernière modif : 29/08/2016
Comment on obtient l'équation d'onde électromagnétique à partir des équations de Maxwell.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,stmaryrd} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \newcommand{\exterior}{\wedge} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmmathbf}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Les ondes {\'e}lectromagn{\'e}tiques (1)} \maketitle \section{Rappel des {\'e}quations de Maxwell :} \begin{eqnarray} \tmop{div} \vec{\tmmathbf{E}} : \qquad \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{E}} & = & \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \tmop{rot} \vec{\tmmathbf{E}} : \quad \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}} & = & - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}} \\ \tmop{div} \vec{\tmmathbf{B}} : \qquad \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{B}} & = & 0 \\ \tmop{rot} \vec{\tmmathbf{B}} : \quad \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{B}} & = & \mu_0 \left[ \vec{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}} \right] \end{eqnarray} \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline {\tmstrong{Rappels :}} $\exterior$ d{\'e}signe le produit vectoriel. $\nabla$ (nabla) est l'op{\'e}rateur vectoriel de d{\'e}rivation du premier ordre. $\nabla \exterior \vec{\tmmathbf{E}}$ c'est le rotationnel du champ vectoriel $\vec{\tmmathbf{E}}$, not{\'e} aussi $\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{E}}$. $\vec{\nabla}^2 = \Delta$\quad est le {\guillemotleft} laplacien vectoriel {\guillemotright} op{\'e}rateur de d{\'e}rivation vectoriel du second ordre\\ \hline \end{tabular} \ \section{Les champs {\'e}lectrique et magn{\'e}tique loin de toutes charges} Nous allons nous int{\'e}resser {\`a} ce qui se passe lorsque des champs {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques se trouvent dans le vide {\`a} grande distance de toute charge {\'e}lectrique et de tout courant {\'e}lectrique, de fa{\c c}on {\`a} pouvoir n{\'e}gliger ces termes dans les {\'e}quations, c'est {\`a} dire que nous consid{\'e}rons que $\rho = 0$ et que $\vec{j} = 0$. donc : (1) devient $\rightarrow$ \begin{eqnarray} \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{E}} & = & 0 \end{eqnarray} comme $j = 0$ et que $\varepsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c_2}$ : (4) devient $\rightarrow$ \begin{eqnarray} \tmop{rot} \vec{\tmmathbf{B}} & = & \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}} \end{eqnarray} Nous entrevoyons d{\'e}j{\`a} que les {\'e}quations (2) et (4) vont interagir, puisqu'elles indiquent que les variations d'un champ agissent sur l'autre et vice-versa. \subsection{Le champ {\'e}lectrique :} prenons le rotationnel de (2) \begin{eqnarray} \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{E}}) & = & \tmop{rot} \left( - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}} \right) \nonumber\\ & & \nonumber\\ & = & - \frac{\partial}{\partial t} (\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{B}}) \end{eqnarray} (7) et (6) donnent : \begin{eqnarray} \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{E}}) & = & - \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}} \right) \nonumber\\ & & \nonumber\\ & = & - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial t^2} \end{eqnarray} \begin{tabular}{l} {\tmstrong{rappel : }}$\begin{array}{lll} \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{E}}) & = & \nabla (\tmop{div} \vec{\tmmathbf{E}}) - \Delta \vec{\tmmathbf{E}} \end{array}$ \end{tabular} \ (8) devient : \begin{eqnarray*} \nabla (\tmop{div} \vec{\tmmathbf{E}}) - \Delta \vec{\tmmathbf{E}} & = & - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial t^2} \end{eqnarray*} (8) et (5) \left($\begin{array}{lll} \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{E}} & = & 0 \end{array}$\right) donnent : \begin{eqnarray*} \Delta \vec{\tmmathbf{E}} & = & \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial t^2} \end{eqnarray*} Ce qui aboutit {\`a} l'{\'e}quation d'onde suivante : \begin{eqnarray} \Delta \vec{\tmmathbf{E}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{E}}}{\partial t^2} & = & 0 \end{eqnarray} \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline {\tmstrong{Remarque}} : Cette {\'e}quation est fondamentale. On d{\'e}finit d'ailleurs un nouvel op{\'e}rateur : le d'alembertien : $\bigbox = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta$\quad c.{\`a}.d: \ $\bigbox = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)$ ou comment repr{\'e}senter une onde par un carr{\'e} !!\\ \hline \end{tabular} \ Ce petit d{\'e}tour par le d'alembertien nous rappelle que le laplacien signifie en fait que nous op{\'e}rons dans l'espace {\`a} trois dimensions, que le champ {\'e}lectrique $\vec{\tmmathbf{E}}$ est repr{\'e}sent{\'e} par un vecteur {\`a} trois composantes ($E_x, E_y, E_z$) et donc que la d{\'e}riv{\'e}e seconde de $\vec{\tmmathbf{E}}$ se d{\'e}compose en trois d{\'e}riv{\'e}es partielles, ordinaires, suivant $x, y \tmop{et} z$. Nous avons d{\'e}j{\`a} rencontr{\'e} une {\'e}quation similaire lors de l'{\'e}tude des {\'e}quations diff{\'e}rentielles du second ordre et du circuit LC (inductance-capacit{\'e}) : \[ u'' - \omega_{}^2 u = 0 \] dont nous connaissons l'ensemble des solutions: \begin{eqnarray*} u (t) = \alpha \cos (\omega_{} t) + \beta \sin (\omega_{} t) & & \end{eqnarray*} Nous devons donc nous attendre {\`a} des solutions similaires pour notre champ {\'e}lectrique, avec des oscillations possibles dans les trois dimensions de l'espace. Toutefois notre {\'e}quation d'onde est diff{\'e}rente en ce sens que le laplacien correspond {\`a} une d{\'e}riv{\'e}e {\tmem{seconde spatiale}} du champ, et qu'il figure dans l'{\'e}quation une autre d{\'e}riv{\'e}e seconde {\tmem{temporelle}} cette fois. Nous obtiendrons donc sans doute des oscillations dans l'espace ET dans le temps. D'o{\`u} l'appellation {\tmem{{\'e}quation d'onde}}. Nous y reviendrons. Mais ne br{\^u}lons pas les {\'e}tapes. Les {\'e}quations de Maxwell nous parlent aussi du champ magn{\'e}tique. Que se passe-t-il en ce qui le concerne ? \subsection{Le champ magn{\'e}tique :} prenons le rotationnel de (6) \begin{eqnarray} \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{B}}) & = & \tmop{rot} \left( \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}} \right) \nonumber\\ & & \nonumber\\ & = & \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} (\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{E}}) \end{eqnarray} (10) et (2) donnent : \begin{eqnarray*} \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{B}}) & = & \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \left( - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}} \right) \end{eqnarray*} avec $\begin{array}{lll} \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{B}}) & = & \nabla (\tmop{div} \vec{\tmmathbf{B}}) - \Delta \vec{\tmmathbf{B}} \end{array}$ \begin{eqnarray} \nabla (\tmop{div} \vec{\tmmathbf{B}}) - \Delta \vec{\tmmathbf{B}} & = & \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \left( - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}} \right) \end{eqnarray} (11) et (3) \left($\begin{array}{lll} \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{B}} & = & 0 \end{array}$\right) donnent : \begin{eqnarray*} \Delta \vec{\tmmathbf{B}} & = & \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{\tmmathbf{B}} \end{eqnarray*} Ce qui aboutit {\`a} l'{\'e}quation d'onde suivante : \begin{eqnarray*} \Delta \vec{\tmmathbf{B}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{\tmmathbf{B}}}{\partial t^2} & = & 0 \end{eqnarray*} Nous obtenons la m{\^e}me {\'e}quation pour le champ magn{\'e}tique $\vec{\tmmathbf{B}}$ que celle obtenue pour le champ {\'e}lectrique $\vec{\tmmathbf{E}}$ ! Il nous reste maintenant {\`a} calculer les solutions de ces {\'e}quations d'onde. Ce sera l'objet de l'article suivant. \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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