Les Equations de Maxwell
Dernière modif : 25/08/2016
James Clerk Maxwell a contribué à l'unification de l'électricité et du magnétisme en une même théorie : l'électromagnétisme.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,xcolor} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \newcommand{\exterior}{\wedge} \newcommand{\tmmathbf}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\tmtextbf}[1]{{\bfseries{#1}}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Les Equations de maxwell} \maketitle Maintenant que nous savons ce qu'est : \begin{itemize} \item un champ vectoriel \item le flux \item la divergence \item le rotationnel \end{itemize} nous pouvons {\'e}crire les fameuses Equations de Maxwell. Les voici : \begin{eqnarray} \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{E}} & = & \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ & & \nonumber\\ \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}} & = & - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}} \\ & & \nonumber\\ \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{B}} & = & 0 \\ & & \nonumber\\ c^2 \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{B}} & = & \frac{\vec{j}}{\varepsilon_0} + \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}} \end{eqnarray} $\vec{\tmmathbf{E}} \rightarrow$le champ {\'e}lectrique $\rho \rightarrow$la densit{\'e} de charge {\'e}lectrique $\vec{\tmmathbf{B}} \rightarrow$le champ magn{\'e}tique $\varepsilon_0 \rightarrow$un coefficient (la permittivit{\'e} du vide) $\vec{j} \rightarrow$le vecteur densit{\'e} de courant {\'e}lectrique $c^2 \rightarrow$le carr{\'e} de la vitesse de la lumi{\`e}re Ces {\'e}quations d{\'e}finissent les interactions entre les charges, les courants, les champs {\'e}lectriques, et les champs magn{\'e}tiques qu'ils soient constants ou variables dans le temps. D'autre physiciens (Gauss, Thomson (= Lord Kelvin), Amp{\`e}re, Faraday) les avaient d{\'e}couvertes avant lui lors d'exp{\'e}riences vari{\'e}es et s{\'e}par{\'e}es, mais c'est Maxwell qui les a r{\'e}unies sous cette forme dans un corpus math{\'e}matique coh{\'e}rent et concis. {\tmstrong{Unification :}} En cela James Clerk Maxwell a contribu{\'e} {\`a} l'unification de l'{\'e}lectricit{\'e} et du magn{\'e}tisme en une m{\^e}me th{\'e}orie : {\tmstrong{l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme}}. C'est la deuxi{\`e}me grande unification apr{\`e}s celle de la pesanteur (chute des corps) et du mouvement des astres (Kepler) par Newton. Plus pr{\`e}s de nous citons l'unification {\'e}lectrofaible entre la th{\'e}orie de l'interaction faible et l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme, bien qu'il ne s'agisse pas d'une v{\'e}ritable unification (elles ne partagent pas les m{\^e}mes constantes de couplages). Suivra le regroupement de la th{\'e}orie {\'e}lectrofaible et de la chromodynamique quantique au sein du mod{\`e}le standard. La tendance {\`a} toujours plus d'unification d{\'e}bouchant sur toujours moins de param{\`e}tres libres au sein des th{\'e}ories regroup{\'e}es semble toutefois marquer le pas actuellement : La th{\'e}orie des cordes qui est une des principales pr{\'e}tendante {\`a} l'unification de la m{\'e}canique quantique avec la relativit{\'e} g{\'e}n{\'e}rale (avec la th{\'e}orie de la gravitation quantique {\`a} boucles) d{\'e}bouche au contraire sur une explosion des param{\`e}tres libres et sur un nombre incalculable (on parle de $10⁵⁰⁰$) variantes possibles (voire un continuum) de th{\'e}ories, ce qui peut para{\^i}tre d{\'e}stabilisant {\`a} nos esprits cart{\'e}siens. Mais vu sous un autre angle cela est fortement enthousiasmant puisque permettant l'{\'e}mergence d'un multivers dont le paysage cosmique (pour reprendre le titre en fran{\c c}ais d'un livre de Leonard Susskind) constitu{\'e} d'une multitude d'Univers aux lois vari{\'e}es, et cons{\'e}quence des th{\'e}ories actuellement admises (relativit{\'e}, m{\'e}canique quantique pour n'en citer que deux qui ne soient pas simplement sp{\'e}culatives mais av{\'e}r{\'e}es) et non simplement issu de l'imagination humaine comme l'ont {\'e}t{\'e} bien des mythologies et autres religions. En quoi ce Multivers est-il enthousiasmant ? En ce qu'il explique (par un simple calcul de probabilit{\'e}) l'extraordinaire pr{\'e}cision du {\guillemotleft} r{\'e}glage {\guillemotright} des param{\`e}tres physiques r{\'e}gissant les lois de notre Monde et rendant sa diversit{\'e} et l'{\'e}mergence de la vie possible. D'autres explications ont {\'e}t{\'e} propos{\'e}es : un coup de d{\'e} initial {\`a} la probabilit{\'e} quasiment nulle, ou une intervention ext{\'e}rieure, divine donc. Ce dernier choix, bien que le plus r{\'e}pandu, constitue une abdication de l'intelligence, dont on a constat{\'e} les ravages au cours des {\^a}ges (je cite ici de m{\'e}moire les propos d'Aur{\'e}lien Barrau). Il est clair que ce n'est pas le mien. {\tmstrong{Revenons {\`a} nos {\'e}quations de Maxwell :}} L'{\'e}quation (1) $\begin{array}{lll} \hline \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{E}} & = & \frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \hline \end{array}$ nous dit que la divergence du champ {\'e}lectrique $E$ {\`a} travers une surface ferm{\'e}e d{\'e}limitant un volume contenant une charge {\'e}lectrique est {\'e}gale {\`a} la charge {\'e}lectrique int{\'e}rieure divis{\'e}e par $\varepsilon_0$ . Nous l'avons d{\'e}montr{\'e}e. Dans cette {\'e}quation la charge {\'e}lectrique peut {\^e}tre consid{\'e}r{\'e}e comme {\guillemotleft} {\'e}mettant {\guillemotright} le champ {\'e}lectrique. La charge {\'e}lectrique est une source de champ magn{\'e}tique. \ L'{\'e}quation (2) $\begin{array}{lll} \hline \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}} & = & - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}}\\ \hline \end{array}$ nous dit que le rotationnel du champ {\'e}lectrique $E$ est {\'e}gal la d{\'e}riv{\'e}e par rapport au temps du champ magn{\'e}tique, c'est {\`a} dire aux variations dans le temps du champ magn{\'e}tique : La variation d'un champ magn{\'e}tique cr{\'e}e un champ {\'e}lectrique (tournant autour). En revanche un champ magn{\'e}tique constant ne produit pas de champ {\'e}lectrique (un alternateur doit tourner pour produire du courant {\'e}lectrique, et les {\'e}oliennes ne produisent de l'{\'e}lectricit{\'e} que lorsqu'il y a du vent). \ L'{\'e}quation (3) $\begin{array}{lll} \hline \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{B}} & = & 0\\ \hline \end{array}$ nous dit que la divergence d'un champ magn{\'e}tique est toujours nulle. Si on la compare {\`a} l'{\'e}quation (1) on voit que cela revient {\`a} dire que contrairement {\`a} ce qui se passe pour le champ {\'e}lectrique, il n'existe pas de {\guillemotleft} charge {\guillemotright} de champ magn{\'e}tique, pas de monopole magn{\'e}tique. Les lignes de champ magn{\'e}tique se referment toujours sur elles m{\^e}me. Si on coupe un aimant en deux, on obtient deux aimants avec chacun son p{\^o}le nord et son p{\^o}le sud. En fait le champ magn{\'e}tique n'est que la cons{\'e}quence (relativiste qui plus est) de la variation d'un champ {\'e}lectrique. C'est l'objet de (la moiti{\'e} de) la quatri{\`e}me {\'e}quation. \ L'{\'e}quation (4) $\begin{array}{lll} \hline c^2 \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{B}} & = & \frac{\vec{j}}{\varepsilon_0} + \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}}\\ \hline \end{array}$ dans son premier terme $\frac{j}{\varepsilon_0} $nous dit qu'un courant {\'e}lectrique (une densit{\'e} de courant {\'e}lectrique $j$) produit un champ magn{\'e}tique (tournant autour du courant). Un conducteur parcouru par un courant {\'e}lectrique fait bouger l'aiguille d'une boussole. Le second terme $\frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}} $indique qu'une variation (dans le temps) du champ {\'e}lectrique produit {\'e}galement un champ magn{\'e}tique. C'est ce qui se passe entre les plaques d'un condensateur en train de se charger par exemple. \ Les {\'e}quations (2) $\begin{array}{lll} \hline \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}} & = & - \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{B}}\\ \hline \end{array}$ \ et (4) $\begin{array}{lll} \hline c^2 \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{B}} & = & \frac{\vec{j}}{\varepsilon_0} + \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}}\\ \hline \end{array}$ qui lient chaque champ aux variations de l'autre vont nous permettre d'expliquer ce qu'est {\tmstrong{un champ {\'e}lectromagn{\'e}tique}}, son caract{\`e}re ondulatoire et sa propagation dans l'espace. Nous verrons cela prochainement. {\noindent}{\color[HTML]{504000}\tmtextbf{Remarque . }}{\hspace*{\fill}}{\medskip} Nous avons {\'e}crit que $\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} = c^2$ c.a.d $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$ (voir page : Flux d'un champ vectoriel) Nous pouvons donc {\'e}crire l'{\'e}quation (4) $\begin{array}{lll} \hline c^2 \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{B}} & = & \frac{j}{\varepsilon_0} + \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}}\\ \hline \end{array}$ de la mani{\`e}re suivante : \begin{eqnarray*} \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{B}} & = & \frac{1}{c^2 \varepsilon_0} \vec{j} + \frac{1}{c^2} \times \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}}\\ & = & \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}} \end{eqnarray*} Revoici donc notre quatri{\`e}me {\'e}quation de Maxwell : \begin{eqnarray} \vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{B}} & = & \mu_0 \left[ \vec{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{\tmmathbf{E}} \right] \end{eqnarray} Les {\'e}quations de Maxwell (1) et (3), dans lesquelles le temps n'intervient pas, permettent d'expliquer et de calculer tous les ph{\'e}nom{\`e}nes {\'e}lectrostatiques et magn{\'e}tostatiques (pour lesquels les charges sont immobiles et de valeur constante et les courants constants). Les {\'e}quations (2) et (4) qui font intervenir le temps sous forme des variations dans le temps des grandeurs $E$ et $B$ permettent d'y ajouter les lois de l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme qui d{\'e}crivent les interactions entre les effets {\'e}lectriques et les effets magn{\'e}tiques. En r{\'e}sum{\'e} tout l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme est contenu dans ces quatre {\'e}quations. Nous allons donc pouvoir nous int{\'e}resser au champ {\'e}lectromagn{\'e}tique et {\`a} sa propagation dans l'espace vide. Mais pour ce faire il nous manque encore un petit outil math{\'e}matique, que nous allons {\'e}tudier maintenant : {\tmstrong{le laplacien}} qui est un op{\'e}rateur de d{\'e}rivation vectoriel du second ordre. \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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