La Théorie de la relativité restreinte
Dernière modif : 18/09/2016
Les équations de Maxwell sont relativistes. Nous allons le montrer, mais étudions au préalable la théorie de la relativité restreinte.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amssymb,graphicx} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{La Th{\'e}orie de la Relativit{\'e} Restreinte} \author{Silicium628} \institute{Silicium628} \maketitle Pourquoi {\'e}tudier le th{\'e}orie de la relativit{\'e} restreinte sur ce site traitant essentiellement de l'{\'e}lectronique, et des math{\'e}matiques qui sont indispensables pour calculer les circuits {\'e}lectroniques et donc comprendre les lois de l'{\'e}lectricit{\'e}, et de l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme ? Eh bien justement parce que les {\'e}quations de Maxwell qui constituent l'essentiel des lois de l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme SONT des lois relativistes. Et c'est ce que nous allons d{\'e}montrer ici, apr{\`e}s avoir compris en quoi consiste la th{\'e}orie de la relativit{\'e} restreinte. \section{Postulats de la relativit{\'e} restreinte :} \begin{itemizedot} \item Les lois de la physique sont les m{\^e}mes dans tous les r{\'e}f{\'e}rentiels galil{\'e}ens. \item La vitesse de la lumi{\`e}re dans le vide a la m{\^e}me valeur dans tous les r{\'e}f{\'e}rentiels galil{\'e}ens. \end{itemizedot} Cela nous am{\`e}ne {\`a} pr{\'e}ciser tous ces termes. \subsection{R{\'e}f{\'e}rentiel galil{\'e}en} Un r{\'e}f{\'e}rentiel galil{\'e}en (ou r{\'e}f{\'e}rentiel inertiel) est un r{\'e}f{\'e}rentiel dans lequel tout corps libre (masse sur laquelle il ne s'exerce aucune force) est soit au repos (ses coordonn{\'e}es ne changent pas au cours du temps), soit en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante en module et direction, donc pas d'acc{\'e}l{\'e}rations ni de rotations). \subsection{Vitesse de la lumi{\`e}re} Nous avons vu dans les articles pr{\'e}c{\'e}dents, traitant de l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme, que la vitesse de la lumi{\`e}re dans le vide ($c = 299 792 458 m / s$) est aussi la vitesse de toute onde {\'e}lectromagn{\'e}tique. On sait la mesurer directement de beaucoup de fa{\c c}ons toutes plus pr{\'e}cises les unes que les autres, mais nous avons vu aussi que : \begin{eqnarray*} c^2 & = & \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0} \end{eqnarray*} Il se trouve que les valeurs des constantes $\varepsilon_0$ (permittivit{\'e} du vide) et de $\mu_0$ (perm{\'e}abilit{\'e} magn{\'e}tique du vide) {\'e}taient connues du temps de Maxwell (comme le r{\'e}sultat d'exp{\'e}riences pr{\'e}cises mettant en jeu des forces exerc{\'e}es par des charges et des courants {\'e}lectriques). Le travail de Maxwell a consist{\'e} en une unification des lois de l'{\'e}lectricit{\'e} et du magn{\'e}tisme pour aboutir {\`a} ses c{\'e}l{\`e}bres {\'e}quations. Et dans ces {\'e}quations apparu une valeur (carr{\'e} d'une vitesse $v^2$) qui s'av{\'e}ra {\^e}tre {\'e}gale au carr{\'e} de la vitesse de la lumi{\`e}re ($c^2$). Mais alors que les lois de l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme venaient d'{\^e}tre formul{\'e}es, il n'{\'e}tait pas connu que la lumi{\`e}re {\tmstrong{est}} une onde {\'e}lectromagn{\'e}tique (c'est {\tmstrong{aussi}} un ensemble de photons mais nous verrons cela plus tard). Toutefois Maxwell remarqua cette (stricte) {\'e}galit{\'e} $v^2 = c^2$ et fit la remarque suivante : Je cite ici Richard Feynman qui cite Maxwell : {\guillemotleft} On peut difficilement {\'e}viter de conclure {\guillemotright}, dit Maxwell, {\guillemotleft} que la lumi{\`e}re consiste en vibrations transverses du m{\^e}me milieu que celui qui est la cause des ph{\'e}nom{\`e}nes {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques {\guillemotright}. Et oui, Maxwell croyait en la pr{\'e}sence de {\guillemotleft} l'{\'e}ther luminif{\`e}re {\guillemotright}. Toutefois il se rendit compte que ses belles {\'e}quations n'avaient pas vraiment besoin de cet {\guillemotleft} {\'e}ther luminif{\`e}re {\guillemotright} et qu'au contraire ce dernier ne permettait pas de rendre compte de toutes les propri{\'e}t{\'e}s de l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme. La th{\'e}orie de l'{\'e}ther luminif{\`e}re avait au moins comme avantage d'{\^e}tre pr{\'e}dictive et de se pr{\^e}ter {\`a} l'exp{\'e}rience. Et donc de multiples exp{\'e}riences furent men{\'e}es pour le mettre en {\'e}vidence. (La plus c{\'e}l{\`e}bre est celle de l'interf{\'e}rom{\`e}tre de Michelson et Morley). Toutes ont {\'e}chou{\'e}es. La principale cons{\'e}quence d'un {\guillemotleft} {\'e}ther luminif{\`e}re {\guillemotright} serait que $c$ n'aurait pas la m{\^e}me valeur dans tous les rep{\`e}res galil{\'e}ens. Le postulat {\guillemotleft} La vitesse de la lumi{\`e}re dans le vide a la m{\^e}me valeur dans tous les r{\'e}f{\'e}rentiels galil{\'e}ens {\guillemotright} est donc une donn{\'e}e exp{\'e}rimentale maintes fois v{\'e}rifi{\'e}e. Autre point {\`a} pr{\'e}ciser : actuellement on ne conna{\^i}t aucun moyen plus rapide que la vitesse de la lumi{\`e}re de transmettre de l'information. M{\^e}me si certaines interpr{\'e}tations de la non-localit{\'e} de particules {\'e}l{\'e}mentaires dans le cadre de la m{\'e}canique quantique {\guillemotleft} font penser {\guillemotright} {\`a} une influence {\`a} distance instantan{\'e}e, cela ne constitue pas un moyen de transmettre de l'information entre deux observateurs. Donc {\tmem{il semble bien}} (et nous admettrons) que la vitesse de la lumi{\`e}re soit non seulement la m{\^e}me dans tous les r{\'e}f{\'e}rentiels galil{\'e}ens, mais qu'elle soit aussi la vitesse la plus grande possible (en sciences, il faut toujours laisser une porte ouverte {\`a} l'impr{\'e}vu...) Nous allons maintenant nous int{\'e}resser au implications des deux postulats sur les notions de simultan{\'e}it{\'e}, d'espace et de temps. \section{Intervalles de temps propre et impropre} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Consid{\'e}rons le dispositif suivant : sur un support rigide sont fix{\'e}s : \begin{itemizedot} \item une lampe flash (en jaune). \item un miroir. \item un d{\'e}tecteur de lumi{\`e}re coupl{\'e} {\`a} un chronom{\`e}tre {\'e}lectronique ultra pr{\'e}cis (en bleu). \item un si{\`e}ge sur lequel est assise une observatrice (Alice) {\tmstrong{A}} qui nous communiquera le r{\'e}sultat de sa mesure. \end{itemizedot} & \resizebox{211px}{364px}{\includegraphics{dispositif2br.jpg}} \end{tabular} \ A l'instant $t_0 $Alice d{\'e}clenche l'{\'e}clair lumineux du flash (ce qui lance le chronom{\`e}tre). Le rayon de lumi{\`e}re va parcourir la distance (verticale) $L$ s{\'e}parant la lampe du miroir, se r{\'e}fl{\'e}chir sur le miroir et parcourir {\`a} nouveau la distance $L$ dans l'autre sens jusqu'au d{\'e}tecteur qu'il atteindra au temps $t_1$. La vitesse de la lumi{\`e}re {\'e}tant constante et valant $c$, le temps $t = t_1 - t_0$ d'aller-retour du rayon mesur{\'e} par le chronom{\`e}tre d'Alice, qu'on pourrait appeler le {\guillemotleft} temps de vol {\guillemotright} et qui est un {\tmem{intervalle de temps}} vaudra : \begin{eqnarray} t & = & t_1 - t_0 \nonumber\\ & = & \frac{2 L}{c} \end{eqnarray} Ce temps mesur{\'e} par Alice sur le dispositif immobile par rapport {\`a} elle, dans un rep{\`e}re orthonorm{\'e} attach{\'e} au dispositif, est appel{\'e} le temps propre du dispositif. Jusque l{\`a}, rien de plus classique. Supposons maintenant que ce m{\^e}me dispositif soit dispos{\'e} {\`a} bord d'une fus{\'e}e passant devant nous {\`a} (grande) vitesse constante de valeur $v$, de la gauche vers la droite. Si Alice refait l'exp{\'e}rience, elle trouvera la m{\^e}me valeur pour l'intervalle de temps $t$ puisque la vitesse de la lumi{\`e}re est la m{\^e}me pour tous les observateurs. De notre point de vue (celui d'un observateur voyant passer la fus{\'e}e), les choses, mesur{\'e}es dans notre rep{\`e}re orthonorm{\'e} (qui est donc en translation rectiligne uniforme par rapport {\`a} celui d'Alice) seront diff{\'e}rentes : \begin{tabular}{p{4.0cm}p{4.0cm}p{4.0cm}} $\Longrightarrow$ & \resizebox{266px}{260px}{\includegraphics{dispositif3br.jpg}} & $\Longrightarrow$ \end{tabular} Lorsque le rayon lumineux atteint le miroir, le dispositif s'est d{\'e}plac{\'e} (dans notre rep{\`e}re) d'une certaine distance horizontalement, disons $x / 2$. Le rayon se r{\'e}fl{\'e}chit sur le miroir, et lorsqu'il atteint le d{\'e}tecteur, le dispositif aura parcouru {\`a} nouveau une distance $x / 2$ soit en tout un d{\'e}placement {\'e}gal {\`a} $x$. De notre point de vue la distance parcourue par le rayon est plus grande que celle trouv{\'e}e par Alice (qui valait $2 L$). Appelons cette nouvelle distance totale $S$ (qui est la somme de $S / 2$ pour le trajet montant {\guillemotleft} inclin{\'e} {\guillemotright} et {\`a} nouveau $S / 2$ pour le retour descendant {\guillemotleft} inclin{\'e} {\guillemotright}, qui sont {\`a} l'{\'e}vidence plus longs que $L$). Appelons $t'$ le temps mesur{\'e} par notre chronom{\`e}tre pour parcourir cette distance $S$. $t'$ est dit {\guillemotleft} temps impropre {\guillemotright} parce qu'il n'est pas mesur{\'e} depuis le r{\'e}f{\'e}rentiel dans lequel se d{\'e}roule le ph{\'e}nom{\`e}ne {\`a} {\'e}tudier. Nous allons calculer $t'$ en fonction de $t$ et de $v$. Pour cela calculons $S$ : \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Nous avons deux triangles rectangles identiques dont les hypot{\'e}nuses ont pour longueur $S / 2$ & \includegraphics{latex-1.eps} \ \end{tabular} Pythagore nous dit : \begin{eqnarray*} (S / 2)^2 & = & (x / 2)^2 + L^2\\ S^2 / 4 & = & x^2 / 4 + L^2\\ S^2 & = & x^2 + 4 L^2\\ & = & x^2 + (2 L)^2 \end{eqnarray*} Remarquons que la distance parcourue $x$ pendant le temps $t'$ vaut : $x = v t'$ ($v$ {\'e}tant la vitesse de la fus{\'e}e mesur{\'e}e dans notre rep{\`e}re) \begin{eqnarray} S^2 & = & (v t')^2 + (2 L)^2 \end{eqnarray} (1)=> $\begin{array}{lll} t & = & \frac{2 L}{c} \end{array}$ => $2 L = c t$ rempla{\c c}ons donc $2 L$ par $c t$ dans (2), il vient : \begin{eqnarray*} S^2 & = & (v t')^2 + (c t)^2 \end{eqnarray*} Le temps de vol $t'$ que nous mesurons sur notre chronom{\`e}tre est : $t' = S / c$ Calculons la valeur de ce $t'$ en fonction de $t$ (mesur{\'e} par Alice) et de $v$ (vitesse d'Alice et de sa fus{\'e}e par rapport {\`a} nous). \begin{eqnarray} t' & = & S / c \nonumber\\ t^{\prime 2} & = & S^2 / c^2 \nonumber\\ c^2 t^{\prime 2} & = & S^2 \nonumber\\ & = & (v t')^2 + (c t)^2 \nonumber\\ & & \nonumber\\ c^2 t^{\prime 2} - v^2 t^{\prime 2} & = & c^2 t^2 \nonumber\\ t^{\prime 2} (c^2 - v^2) & = & c^2 t^2 \nonumber\\ t^{\prime 2} & = & \frac{c^2 t^2}{c^2 - v^2} \nonumber\\ & = & \frac{t^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} \nonumber\\ t' & = & \frac{t^{}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{eqnarray} Et voil{\`a} d{\'e}j{\`a} la fameuse formule de la th{\'e}orie de la relativit{\'e} restreinte {\`a} propos de la dilatation du temps. Avouons que cette d{\'e}monstration n'est pas trop m{\'e}chante ! Lorsque Alice nous communique par radio le r{\'e}sultat de sa mesure, et qu'on le compare avec le n{\^o}tre, trouvons nous r{\'e}ellement une diff{\'e}rence ? La r{\'e}ponse est oui, et on sait le faire depuis que les horloges atomiques sont suffisamment miniaturis{\'e}es pour {\^e}tre transport{\'e}es dans des fus{\'e}es et autres sondes interplan{\'e}taires. Mais on arrive {\'e}galement {\`a} la m{\^e}me conclusion en observant la dur{\'e}e de vie de particules {\'e}l{\'e}mentaires : Des particules instables {\`a} courte dur{\'e}e de vie acc{\'e}l{\'e}r{\'e}es {\`a} de grandes vitesses se d{\'e}sint{\`e}grent apr{\`e}s un laps de temps plus long que des particules identiques se d{\'e}pla{\c c}ant lentement. C'est d'ailleurs ce qui permet de d{\'e}tecter certaines d'entre elles qui sans cela ne {\guillemotleft} vivraient {\guillemotright} pas suffisamment longtemps pour atteindre les d{\'e}tecteurs plac{\'e}s pr{\`e}s des acc{\'e}l{\'e}rateurs de particules. En r{\'e}sum{\'e} la dur{\'e}e d'un ph{\'e}nom{\`e}ne n'est pas la m{\^e}me si on effectue la mesure en {\'e}tant immobile ou en d{\'e}placement par rapport {\`a} lui. Et par ph{\'e}nom{\`e}ne nous entendons {\tmem{n'importe quel ph{\'e}nom{\`e}ne physique}}, y compris le fonctionnement de n'importe quel type d'horloge. C'est donc le temps lui m{\^e}me qui doit {\^e}tre vu diff{\'e}remment suivant que l'on soit immobile (on parle de temps propre) ou en d{\'e}placement (temps impropre) par rapport au ph{\'e}nom{\`e}ne mesur{\'e}. Toutefois le voyageur intersid{\'e}ral ne verra jamais sa montre ralentir puisqu'elle est immobile par rapport {\`a} lui. On pourrait se dire : {\guillemotleft} {\`a} quoi bon se casser la t{\^e}te avec ce temps impropre, chacun lit l'heure {\`a} sa montre et tout va bien {\guillemotright}. D'autant que la diff{\'e}rence entre le temps impropre et le temps propre ne devient significative que pour des vitesses tr{\`e}s grandes, de l'ordre d'une fraction de la vitesse de la lumi{\`e}re... Et il suffit de placer judicieusement l'horloge pour qu'elle soit fixe par rapport {\`a} l'objet {\`a} mesurer... Eh bien justement en physique des particules on est confront{\'e} {\`a} des vitesses de d{\'e}placement tr{\`e}s grandes, et il n'est {\'e}videmment pas question d'attacher une horloge sur un {\'e}lectron !! Et puis il y a un autre domaine o{\`u} la prise en compte des effets relativistes est incontournable, c'est l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme. Car dans ce dernier cas, m{\^e}me si les vitesses de d{\'e}placement des charges sont faibles, la grandeur de l'interaction {\'e}lectromagn{\'e}tique est tellement importante que les effets relativistes deviennent tout {\`a} fait perceptibles {\`a} notre {\'e}chelle : En particulier le champ magn{\'e}tique cr{\'e}{\'e} par le d{\'e}placement des charges (y compris dans un aimant permanent) est un effet purement relativiste. Mais ne br{\^u}lons pas les {\'e}tapes, nous y reviendrons. Maintenant que nous savons d'o{\`u} provient cette dilatation du temps et que nous savons la calculer, et avant de passer {\`a} l'{\'e}tude du raccourcissement des longueurs, nous allons, en guise d'entracte, regarder de plus pr{\`e}s un corollaire des postulats de base. \section{Corollaire du second postulat } Le second postulat affirme que la vitesse de la lumi{\`e}re dans le vide a la m{\^e}me valeur dans tous les r{\'e}f{\'e}rentiels galil{\'e}ens. Cela revient {\`a} dire que la vitesse de la lumi{\`e}re est ind{\'e}pendante de la vitesse de sa source. S'il n'en {\'e}tait pas ainsi, si la vitesse de la lumi{\`e}re d{\'e}pendait de la vitesse de sa source (comme c'est le cas des fl{\`e}ches d'arbal{\`e}te par exemple, pour prendre un exemple pas trop guerrier), lorsqu'on mesurerait la vitesse de la lumi{\`e}re {\'e}mise par une source qui se d{\'e}place vers nous, on trouverait une valeur sup{\'e}rieure {\`a} $c$. Or une telle mesure effectu{\'e}e sur la lumi{\`e}re re{\c c}ue de couples d'{\'e}toiles en rotation rapide (ou {\guillemotleft} {\'e}toiles doubles {\guillemotright}) donne toujours $c$, quelle que soit la vitesse des {\'e}toiles. D'autres mesures ont {\'e}t{\'e} effectu{\'e}es sur des photons rapides produits par la d{\'e}sint{\'e}gration de m{\'e}sons $\pi ⁰$ donnant l{\`a} aussi toujours $c.$ Mais alors par quoi est constitu{\'e}e la lumi{\`e}re ? Une onde sans doute ! En effet les ondes ont cette particularit{\'e} d'avoir une vitesse de propagation donn{\'e}e par rapport {\`a} un support (qui vibre) et non par rapport {\`a} la source d'{\'e}mission. Cette vitesse d{\'e}pend d'ailleurs des caract{\'e}ristique du milieu de propagation. La notion d'{\guillemotleft} {\'e}ther {\guillemotright} existait depuis l'antiquit{\'e}. Logiquement les physiciens la reprirent sous le terme {\guillemotleft} d'{\'e}ther luminif{\`e}re {\guillemotright} pour d{\'e}signer le support suppos{\'e} des ondes lumineuses, puis plus g{\'e}n{\'e}ralement {\'e}lectromagn{\'e}tiques. Il en fut ainsi jusqu'{\`a} l'av{\`e}nement de la th{\'e}orie de la relativit{\'e} restreinte. Pourquoi donc avoir abandonn{\'e} cette notion d'{\'e}ther ? Si l'{\'e}ther luminif{\`e}re existait, il expliquerait bien l'ind{\'e}pendance de la vitesse de la lumi{\`e}re par rapport {\`a} la vitesse de d{\'e}placement de la source. Oui mais il y a un hic ! Dans ce cas la vitesse mesur{\'e}e de la lumi{\`e}re d{\'e}pendrait cette fois de la vitesse de l'observateur par rapport {\`a}... l'{\'e}ther. L'exp{\'e}rience de Michelson et Morley et d'autres qui suivirent montr{\`e}rent que la vitesse mesur{\'e}e de la lumi{\`e}re est aussi ind{\'e}pendante de la vitesse de l'observateur. Et nous avons vu que dans les {\'e}quations de Maxwell ne figure pas la notion d'{\'e}ther. Donc bye bye l'{\'e}ther. La th{\'e}orie de la relativit{\'e} restreinte nous montre que c'est la notion de temps qui doit {\^e}tre revue plus attentivement. Mais ce n'est pas la seule ! La notion d'espace va aussi subir une remise {\`a} niveau. C'est ce que nous allons voir maintenant. \section{La contraction des longueurs} Cette fois Alice va venir survoler la Lune (pour qu'on ne vienne pas m'emb{\^e}ter avec des probl{\`e}mes d'atmosph{\`e}re !) avec sa fus{\'e}e et passer en rase mote au dessus de deux rep{\`e}res que nous aurons pr{\'e}alablement plant{\'e}s par terre pardon, par lune. Nous, en tant qu'observateurs, sommes assis sur la Lune. \begin{tabular}{p{12.0cm}} \resizebox{1194px}{407px}{\includegraphics{contraction_longueurs1r1.jpg}} \end{tabular} \ Dans le r{\'e}f{\'e}rentiel de la Lune, qui est celui des rep{\`e}res, la fus{\'e}e se d{\'e}place avec une vitesse $v.$ Elle passe successivement au dessus du rep{\`e}re $A$ puis au dessus du rep{\`e}re $B$. Elle parcourt la distance $L$ s{\'e}parant ces deux rep{\`e}res en un temps $t' = L / v$. Ce temps est un temps impropre dans le r{\'e}f{\'e}rentiel de la Lune parce qu'il concerne des {\'e}venements qui se produisent en des lieux diff{\'e}rents. (Il faut disposer de deux horloges situ{\'e}es chacune pr{\`e}s d'un des rep{\`e}res pour les chronom{\'e}trer. Et alors se posent des probl{\`e}mes de synchronisation des horloges). Aussi on va le d{\'e}duire tr{\`e}s simplement du temps propre mesur{\'e} par Alice avec un chronom{\`e}tre unique {\`a} bord de la fus{\'e}e. En effet Alice est pr{\'e}sente pr{\`e}s du rep{\`e}re lors de chaque passage {\`a} un des rep{\`e}res, et peut ainsi mesurer un temps propre $t$ des chaque {\'e}v{\'e}nement. Nous avons calcul{\'e} en (4) que $\begin{array}{lll} t' & = & \frac{t^{}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{array}$ et donc : \begin{eqnarray*} t & = & t' \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\\ & & \\ & = & \frac{L}{v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{eqnarray*} Ainsi pour Alice, le temps $t$ qui s{\'e}pare les deux {\'e}v{\'e}nements vaut $\begin{array}{lll} t & = & t' \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{array}$ Alice en d{\'e}duit que la distance s{\'e}parant les deux rep{\`e}res vaut $L_a = v t$ \begin{eqnarray} L_a & = & v t \nonumber\\ & = & v \times \frac{L}{v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \nonumber\\ & & \nonumber\\ & = & L \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \end{eqnarray} remarque : $0 \leqslant \left( \frac{v^2}{c^2} \right) \leqslant 1$ et donc $0 \leqslant \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) \leqslant 1$\quad et \ $0 \leqslant \left( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \right) \leqslant 1$ donc $L_a \leqslant L$\quad ($L_a = L$ si $v = 0$) Mais Alice peut aussi consid{\'e}rer que dans son r{\'e}f{\'e}rentiel ce sont les rep{\`e}res s{\'e}par{\'e}s par la distance $L_a$ (qu'elle a mesur{\'e}) qui se d{\'e}placent par rapport {\`a} sa fus{\'e}e. Elle peut donc l{\'e}gitimement en conclure que la distance $L$ s{\'e}parant les rep{\`e}res lorsqu'ils sont au repos semble plus courte (d'un facteur $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$) lorsqu'ils se d{\'e}placent suivant un mouvement rectiligne uniforme par rapport {\`a} elle. C'est cet effet-l{\`a} que l'on appelle le raccourcissement (ou retr{\'e}cissement) relativiste des longueurs. Les bornes rep{\`e}res peuvent en fait {\^e}tre des points situ{\'e}s au extr{\'e}mit{\'e}s de n'importe quel objet d{\'e}terminant ainsi sa longueur, on en d{\'e}duit qu'un objet paraitra plus court (applati dans la direction du mouvement, d{\'e}form{\'e} donc) lorsqu'il se d{\'e}place par rapport {\`a} l'observateur. Nous verrons les cons{\'e}quences de cet effet en {\'e}lectromagn{\'e}tisme. \end{document}

Ce que j'ai omis de dire dans cet article...

(volontairement pour ne pas trop alourdir l'article, ou par oubli... Mais je compte bien réparer ça ultérieurement: )
  • Je n'ai pas parlé des quadrivecteurs
  • Je n'ai pas parlé des vitesses et des accélérations
  • Je n'ai pas parlé des transformations de Lorentz
  • Je n'ai pas parlé de la masse et de l'énergie
  • Je n'ai pas parlé des forces
J'en conclus qu'il faudra que j'écrive encore plusieurs articles sur le sujet. Je le ferai.
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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