RELATIVITE : La Transformation de Lorentz
Dernière modif : 20/11/2017
Où l'on découvrira une symétrie mathématique entre le temps et l'espace ce qui nous permettra par la suite de traiter des quadrivecteurs utilisés dans la théorie de la relativité restreinte.



\documentclass{beamer} \usepackage[english]{babel} \usepackage{geometry,graphicx} \geometry{left= 20mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 20mm, right= 15mm, top= 20mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} Th{\'e}orie de la relativit{\'e} restreinte : \ \title{La Transformation de Lorentz } \maketitle \section{Description} Nous allons consid{\'e}rer deux r{\'e}f{\'e}rentiels galil{\'e}ens \ (dits aussi {\guillemotleft} inertiels {\guillemotright} ) $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$, en translation rectiligne uniforme l'un par rapport {\`a} l'autre donc, et un {\'e}v{\'e}nement vu depuis ces deux r{\'e}f{\'e}rentiels. \paragraph{Rappel :}{\tmem{Un r{\'e}f{\'e}rentiel galil{\'e}en (ou r{\'e}f{\'e}rentiel inertiel) est un r{\'e}f{\'e}rentiel dans lequel tout corps libre (masse sur laquelle il ne s'exerce aucune force) est soit au repos (ses coordonn{\'e}es ne changent pas au cours du temps), soit en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante en module et direction, donc pas d'acc{\'e}l{\'e}rations ni de rotations).}} On suppose que tous les d{\'e}placements se font uniquement suivant l'axe des $x$ afin de simplifier l'expos{\'e} et les graphiques. \section{Calcul en m{\'e}canique classique {\guillemotleft} newtonienne {\guillemotright} :} Lorsque les vitesses en jeu peuvent {\^e}tre n{\'e}glig{\'e}es devant la vitesse de la lumi{\`e}re, le calcul de la position d'un point dans les diff{\'e}rents r{\'e}f{\'e}rentiels est tr{\`e}s simple : Supposons qu'au temps $t_0 = 0$ les deux r{\'e}f{\'e}rentiels co{\"i}ncident. Au temps $t_1 = t$ le r{\'e}f{\'e}rentiel $\mathcal{R}'$ (trac{\'e} {\guillemotleft} en haut {\guillemotright}) s'est d{\'e}plac{\'e} {\`a} la vitesse $v$ suivant l'axe des $x$ par rapport {\`a} $\mathcal{R}$(trac{\'e} au dessous), de la distance $v t$. \resizebox{397px}{276px}{\includegraphics{Transformation_de_Lorentz-1.eps}} Si au temps $t_1$ la position de l'{\'e}v{\'e}nement au point $P$ est {\'e}gale {\`a} $x$ dans le r{\'e}f{\'e}rentiel $\mathcal{R}$, alors dans le r{\'e}f{\'e}rentiel $\mathcal{R}'$, elle vaut : $x' = x - v t$ \section{Calcul en th{\'e}orie de la relativit{\'e} restreinte :} Lorsque les vitesses ne sont plus n{\'e}gligeables devant $c$, le calcul est un peu plus compliqu{\'e} : \begin{tabular}{lp{12.0cm}} \resizebox{369px}{261px}{\includegraphics{fig2a.jpg}} & Soit un {\'e}v{\'e}nement $E$ vu depuis un rep{\`e}re $\mathcal{R}$\\ \resizebox{369px}{261px}{\includegraphics{fig2b.jpg}} & Voici ce m{\^e}me {\'e}v{\'e}nement vu depuis le rep{\`e}re $\mathcal{R}'$ qui est en d{\'e}placement rectiligne uniforme {\tmem{{\`a} une vitesse non n{\'e}gligeable devant $c$}} suivant l'axe des $x$ par rapport au rep{\`e}re $\mathcal{R}$. \\ \resizebox{369px}{261px}{\includegraphics{fig2c.jpg}} & D{\'e}signons par des lettres ordinaires les distances\quad mesur{\'e}es du point de vue du rep{\`e}re $\mathcal{R}$, et par des lettres compl{\'e}t{\'e}es du signe {\tmem{prime}} ('), les distances mesur{\'e}es du point de vue du rep{\`e}re $\mathcal{R}'$ \end{tabular} \ Sur cette derni{\`e}re figure les distances semblent {\^e}tre les m{\^e}mes vues depuis les deux rep{\`e}res ( $a$ semble {\'e}gale {\`a} $x'$ , $v t$ semble {\'e}gale {\`a} $v t$ et $b$ semble {\'e}gale {\`a} $x$ ). Mais comme les entit{\'e}s en question se d{\'e}placent {\`a} grande vitesse, leur valeurs num{\'e}riques ne sont PAS {\'e}gales lorsqu'elles sont mesur{\'e}es depuis des r{\'e}f{\'e}rentiels diff{\'e}rents. En particulier, d'apr{\`e}s ce que nous avons d{\'e}j{\`a} calcul{\'e} lors de notre premi{\`e}re approche de la Th{\'e}orie de la Relativit{\'e} Restreinte, nous devons {\'e}crire : $a = x' \sqrt{1 - v^2 / c^2}$ $b = x \sqrt{1 - v^2 / c^2}$ il s'ensuit : $x = v t + a$ $x = v t + x' \sqrt{1 - v^2 / c^2}$\qquad (1) $x' = b - v t'$ $x' = x \sqrt{1 - v^2 / c^2} - v t'$\qquad (2) {\tmstrong{calcul de $x' = f (x, t)$ :}} (1)--> $x = v t + x' \sqrt{1 - v^2 / c^2}$ d'o{\`u} : \begin{tabular}{|l|} \hline $x' = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}$\\ \hline \end{tabular} (A) \ {\tmstrong{calcul de $t' = f (x, t)$}} posons (afin de ne pas devoir {\'e}crire des tonnes de racines) : $\alpha = \sqrt{1 - v^2 / c^2}$ $a^2 = 1 - v^2 / c^2$ (2) --> \begin{eqnarray*} x' & = & x \alpha - v t'\\ v t' & = & x \alpha - x'\\ & = & x \alpha - \frac{x - v t}{\alpha} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} t' & = & \frac{x \alpha^2 - x - v t}{v \alpha}\\ & & \\ & = & \frac{x (1 - v^2 / c^2) - x + v t}{v \alpha}\\ & & \\ & = & \frac{x - v^2 x / c^2 - x + v t}{v \alpha}\\ & & \\ & = & \frac{v t - v^2 x / c^2}{v \alpha}\\ & & \\ & = & \frac{x - v^{} x / c^2}{\alpha} \end{eqnarray*} r{\'e}sultat, en rempla{\c c}ant $\alpha$ par sa valeur : \begin{tabular}{|l|} \hline $t' = \frac{t - v^{} x / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}$\\ \hline \end{tabular} (B) \ Les {\'e}quations (A) et (B) ci-dessus constituent les {\tmem{TRANSFORMATIONS DE LORENTZ}}. Il est {\'e}galement commode, pour simplifier les calculs, de poser : $\beta = v / c$\quad et $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}$ ce qui donne pour $\gamma$ en fonction de $\beta$: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$ et r{\'e}ciproquement, pour $\beta$ en fonction de $\gamma$: \begin{eqnarray*} \gamma & = & 1 / \sqrt{1 - \beta^2}\\ \sqrt{1 - \beta^2} & = & 1 / \gamma\\ 1 - \beta^2 & = & 1 / \gamma^2\\ \beta^2 & = & 1 - 1 / \gamma^2 \end{eqnarray*} $\beta = \sqrt{1 - 1 / \gamma^2}$ Remarque : \begin{eqnarray*} \gamma & = & 1 / \sqrt{1 - \beta^2}\\ \gamma \left( \sqrt{1 - \beta^2} \right) & = & 1 \end{eqnarray*} d'o{\`u} : $\gamma^2 (1 - \beta^2) = 1$ En utilisant ces notations, les transformations de Lorentz s'{\'e}crivent : $x' = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} = \gamma (x - \beta c t)$ \begin{eqnarray*} x' & = & \frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}\\ & = & \gamma (x - \beta c t) \end{eqnarray*} Et pour le temps : \begin{eqnarray*} t' & = & \frac{t - v^{} x / c^2}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}\\ & = & \gamma (t - v^{} x / c^2) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} c t' & = & \gamma (c t - c v x / c^2)\\ & = & \gamma (c t - v x / c)\\ & = & \gamma (c t - \beta x) \end{eqnarray*} {\tmstrong{R{\'e}capitulation}} qui met une sym{\'e}trie en {\'e}vidence : \begin{eqnarray*} x' & = & \gamma (x - \beta c t)\\ c t' & = & \gamma (c t - \beta x) \end{eqnarray*} Ces deux {\'e}quations sont donc identiques par simple permutation de $x$ et $c t$. C'est ici qu'il appara{\^i}t que le temps et l'espace peuvent jouer un r{\^o}le presque identique dans la th{\'e}orie. En fait il s'agit du produit du temps par la vitesse de la lumi{\`e}re $c$, ce qui est bien homog{\`e}ne {\`a} une longueur. Nous verrons qu'il est possible de manipuler ensemble ces concepts de temps et d'espace dans les calculs, en cr{\'e}ant des {\^e}tres math{\'e}matiques {\`a} trois dimensions d'espace et une de temps, des vecteurs {\`a} quatre composantes, les quadrivecteurs. L'Espace-temps, et les intervalles d'espace-temps... Vous commencez sans doute maintenant {\`a} voir d'o{\`u} proviennent ces notions... \ \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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