Le laplacien : Opérateur vectoriel du second ordre
Dernière modif : 29/08/2016
L'opérateur laplacien va nous permettre, appliqué aux équations de Maxwell, de décrire la propagation des ondes électromagnétiques.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,bbm} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\exterior}{\wedge} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmmathbf}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{L'op{\'e}rateur laplacien} \maketitle Nous connaissons la divergence obtenue en faisant le produit {\tmstrong{scalaire}} du vecteur op{\'e}rateur $\vec{\nabla}$ avec un champ de vecteurs : $\tmop{div} \vec{\tmmathbf{E}} = \nabla . \vec{\tmmathbf{E}}$ Nous connaissons le rotationnel obtenue en faisant le produit {\tmstrong{vectoriel}} du vecteur op{\'e}rateur $\vec{\nabla}$ avec un champ de vecteurs : $\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{E}} = \nabla \exterior \vec{\tmmathbf{E}}$ Il s'agissait dans les deux cas d'op{\'e}rateurs de premier ordre consistant {\`a} calculer des d{\'e}riv{\'e}es premi{\`e}res des champs de vecteurs. Nous allons maintenant consid{\'e}rer {\tmstrong{un op{\'e}rateur d'ordre deux}} : Le {\guillemotleft} laplacien {\guillemotright}. On distingue deux variantes de l'op{\'e}rateur laplacien : \begin{itemizedot} \item Le laplacien scalaire qui s'applique {\`a} un champ scalaire. \item Et le laplacien vectoriel qui s'applique {\`a} un champ vectoriel. \end{itemizedot} \section{Le laplacien scalaire} Le laplacien scalaire est d{\'e}fini comme la divergence du gradient. \subsection{Rappels :} \subsubsection{le gradient d'un champ scalaire} Soit un espace scalaire dont la valeur en chaque point est une fonction $f (x, y, z)$ dans la base cart{\'e}sienne orthonorm{\'e}e\quad de vecteurs unitaires ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) Le gradient en chaque point {\tmstrong{est le vecteur}} : $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{k}$ \subsubsection{la divergence d'un champ vectoriel} La divergence d'un champ vectoriel est le {\tmstrong{produit scalaire}} du vecteur op{\'e}rateur nabla par le champ vectoriel. $\vec{\nabla} . \vec{E} = \tmop{div} (\vec{E})$ (divergence de $\vec{E}$) -> r{\'e}sultat d'un produit scalaire, donc {\tmstrong{un scalaire}}. $\vec{\nabla} . \vec{E} = \nabla_x E_x + \nabla_y E_y + \nabla_z E_z$ c'est {\`a} dire : $\vec{\nabla} . \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$ \subsection{Le laplacien scalaire} Le laplacien scalaire {\'e}tant la divergence du gradient, nous d{\'e}duisons de ce qui pr{\'e}c{\`e}de qu'il s'applique {\`a} un champ scalaire et a pour r{\'e}sultat un champ scalaire. $\tmop{laplacien} \tmop{de} f = \tmop{div} (\overrightarrow{\tmop{grad}} f) = \tmop{div} (\nabla f) = \nabla . (\nabla .f) = \nabla^2 f = \Delta f$ (attention {\`a} ne pas confondre $\Delta$ avec $\nabla$) Voyons ce que cela donne pour les composantes : soit $f (x, y, z) = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}$ $\nabla . (\nabla .f) = \frac{\partial^2 f}{\partial^{} x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$ \ \section{Le laplacien vectoriel} soit le champ vectoriel $\vec{E} : \mathbbm{R}^3 \longrightarrow \mathbbm{R}^3$ $\vec{E} \left\{ \begin{array}{l} E_x = f_x (x, y, z)\\ E_y = f_y (x, y, z)\\ \tmop{Ez} = f_z (x, y, z) \end{array} \right.$ les composantes du champ vectoriel pour chaque point de l'espace sont des fonctions de $(x, y, z)$ Le laplacien vectoriel est un vecteur op{\'e}rateur aux d{\'e}riv{\'e}es partielles du second ordre qui a pour expression : $\Delta \vec{E} = \overrightarrow{\nabla^2} . \vec{E}$ Le r{\'e}sultat s'obtient en appliquant {\tmem{le laplacien scalaire vu ci-dessus}} {\`a} chaque composante des vecteurs constituant le champ vectoriel. La composante $x$ du champ vectoriel $\vec{E}$ c'est $E_x$ qui est une fonction de la position $(x, y, z)$. $E_x = f_x (x, y, z)$ Le laplacien de cette fonction c'est $\begin{array}{lll} (\Delta \vec{E})_x & = & \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_x + \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_x + \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_x \end{array}$ ou pour {\'e}crire les choses en d{\'e}tails : $\begin{array}{lll} (\Delta \vec{E})_x & = & \frac{\partial^2 f_x (x, y, z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f_x (x, y, z)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f_x (x, y, z)}{\partial z^2} \end{array}$ Le m{\^e}me calcul doit {\^e}tre fait pour les composantes $E_y$ et $E_z$. $\begin{array}{lll} (\Delta \vec{E})_y & = & \frac{\partial^2 f_y (x, y, z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f_y (x, y, z)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f_y (x, y, z)}{\partial z^2} \end{array}$ $\begin{array}{lll} (\Delta \vec{E})_z & = & \frac{\partial^2 f_z (x, y, z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f_z (x, y, z)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f_z (x, y, z)}{\partial z^2} \end{array}$ Attention donc {\`a} ne pas tout m{\'e}langer, en particulier les fonction $f_x$, $f_y$ et $f_z$ qui sont trois fonctions bien distinctes. Lorsque les formules se ressemblent trop, on a vite fait de les confondre. Voici donc {\`a} nouveau ces composantes du r{\'e}sultat (qui n'est pas exactement un vecteur, mais un pseudo-vecteur, parce que bien qu'il comporte trois composantes, celles-ci ne se comportent pas comme celles d'un vecteur vis-{\`a}-vis de certaines sym{\'e}tries) : \begin{eqnarray*} (\Delta \vec{E})_x & = & \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_x + \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_x + \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_x\\ & & \\ (\Delta \vec{E})_y & = & \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_y + \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_y + \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_y\\ & & \\ (\Delta \vec{E})_z & = & \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_z + \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_z + \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_z \end{eqnarray*} -Bouh-ou c'est hyper compliqu{\'e} ! - mais pas du tout, ce ne sont que de simples d{\'e}riv{\'e}es partielles qui ne sont que des d{\'e}riv{\'e}es ordinaires lorsqu'on consid{\`e}re toutes les variables sauf une comme fixes. -ah, oui ! Mais {\c c}a sert {\`a} quoi ? -{\`a} plein de choses en physique. D'ailleurs nous allons imm{\'e}diatement nous servir de ce laplacien, appliqu{\'e} aux {\'e}quations de Maxwell, pour expliquer la propagation des ondes {\'e}lectromagn{\'e}tiques {\`a} la vitesse de la lumi{\`e}re ! Au passage nous utiliserons des {\'e}quations diff{\'e}rentielles aux d{\'e}riv{\'e}es partielles pour faire {\'e}merger des ondes... \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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