Le rotationnel du rotationnel
Dernière modif : 02/10/2016
Démonstration d'une relation fondamentale : rot(rot)=grad(div)-laplacien



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,bbm,xcolor} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \newcommand{\exterior}{\wedge} \newcommand{\tmcolor}[2]{{\color{#1}{#2}}} \newcommand{\tmmathbf}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Le rotationnel du rotationnel} \maketitle Le calcul vectoriel nous a amen{\'e} {\`a} d{\'e}finir : \begin{itemizedot} \item Le {\tmstrong{flux}} d'un champ de vecteur {\`a} travers une surface d{\'e}limit{\'e}e par une courbe ferm{\'e}e. \item La {\tmstrong{divergence}} d'un champ de vecteurs : $\tmop{div} \vec{\tmmathbf{E}} = \vec{\nabla} . \vec{\tmmathbf{E}}$ \item Le {\tmstrong{rotationnel}} d'un champ de vecteurs : $\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{E}}$ = $\vec{\nabla} \exterior \vec{\tmmathbf{E}}$ \item Le {\tmstrong{laplacien}} scalaire et le laplacien vectoriel $\Delta \vec{\tmmathbf{E}} = \vec{\nabla}^2 \vec{\tmmathbf{E}}$ \end{itemizedot} Nous allons maintenant calculer une relation entre le laplacien, la divergence et le rotationnel qui nous sera bien utile pour retrouver la fonction de propagation des champs {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques sous forme d'ondes {\'e}lectromagn{\'e}tiques {\`a} partir des {\'e}quations de Maxwell. Soit donc un champ vectoriel $\vec{\tmmathbf{E}} : \mathbbm{R}^3 \rightarrow \mathbbm{R}^3$ dont les vecteurs ont comme composantes des fonctions de $(x, y, z)$: $\vec{\tmmathbf{E}} \left\{ \begin{array}{l} E_x (x, y, z)\\ E_y (x, y, z)\\ E_z (x, y, z) \end{array} \right.$ Le rotationnel de $\vec{\tmmathbf{E}}$ s'{\'e}crit : $\tmop{rot} \vec{E} = \vec{\nabla} \exterior \vec{E} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial y} E_z - \frac{\partial}{\partial z} E_y\\ \frac{\partial}{\partial z} E_x - \frac{\partial}{\partial x} E_z\\ \frac{\partial}{\partial x} E_y - \frac{\partial}{\partial y} E_x \end{array} \right.$ Jusqu'ici rien que nous n'ayons d{\'e}j{\`a} vu. Prenons maintenant le rotationnel de ce rotationnel : $\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E}) = \vec{\nabla} \exterior (\vec{\nabla} \exterior \vec{E})$ et calculons ses composantes: \begin{eqnarray*} {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_x & = & \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial}{\partial x} E_y - \frac{\partial}{\partial y} E_x \right) - \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial}{\partial z} E_x - \frac{\partial}{\partial x} E_z \right)\\ & & \\ {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_y & = & \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial}{\partial y} E_z - \frac{\partial}{\partial z} E_y \right) - \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial}{\partial x} E_y - \frac{\partial}{\partial y} E_x \right)\\ & & \\ {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_z & = & \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial}{\partial z} E_x - \frac{\partial}{\partial x} E_z \right) - \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial}{\partial y} E_z - \frac{\partial}{\partial z} E_y \right) \end{eqnarray*} {\c c}a peut para{\^i}tre laborieux {\`a} {\'e}crire {\`a} la main, alors qu'avec une traitement de texte d{\'e}di{\'e} {\`a} Latex (tel TexMax que j'utilise sous Linux, c'est de la rigolade: il suffit de faire quelques {\guillemotleft} copier-coller {\guillemotright} avec un risque minimum de se tromper). D{\'e}veloppons des expressions et regroupons les op{\'e}rateurs: \begin{eqnarray*} {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_x & = & - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} E_x - \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z} E_x + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} E_y + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial z} E_z\\ & & \\ {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_y & = & - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} E_y - \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z} E_y + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} E_z + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} E_x\\ & & \\ {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_z & = & - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} E_z - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} E_z + \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial z} E_x + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} E_y \end{eqnarray*} simplifions un peu les {\'e}critures : \begin{eqnarray} {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})_x] & = & - \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_x - \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_x + \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} E_y + \frac{\partial^2}{\partial x \partial_{} z} E_z \\ & & \nonumber\\ {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_y & = & - \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_y - \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_y + \frac{\partial^2}{\partial y \partial z} E_z + \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} E_x \nonumber\\ & & \nonumber\\ {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_z & = & - \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_z - \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_z + \frac{\partial^2}{\partial x \partial z} E_x + \frac{\partial^2}{\partial y \partial z} E_y \nonumber \end{eqnarray} Ne consid{\'e}rons pour l'instant que la premi{\`e}re composante (1) et ajoutons puis soustrayons-lui le terme $\frac{\partial^2}{\partial x^2} E_x$ \begin{eqnarray*} {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_x & = & \tmcolor{blue}{- \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_x} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_x - \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_x + \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} E_y + \frac{\partial^2}{\partial x \partial_{} z} E_z \tmcolor{red}{+ \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_x}\\ & & \\ & = & - \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_x - \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_x - \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_x + \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial^{}}{\partial y} E_y + \frac{\partial^{}}{\partial_{} z} E_z + \frac{\partial^{}}{\partial x} E_x \right)\\ & & \end{eqnarray*} les termes n{\'e}gatifs $- \frac{\partial^2}{\partial x^2} E_x - \frac{\partial^2}{\partial y^2} E_x - \frac{\partial^2}{\partial z^2} E_x$ forment le laplacien (scalaire) de la composante $E_x$. \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline {\tmstrong{rappel}} : Le laplacien scalaire d'une fonction $f (x, y, z)$ est $\nabla^2 f = \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$\\ \hline \end{tabular} Ainsi nous obtenons : \begin{eqnarray*} {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_x & = & \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial^{}}{\partial x} E_x + \frac{\partial^{}}{\partial y} E_y + \frac{\partial^{}}{\partial_{} z} E_z \right) - \Delta E_x \end{eqnarray*} or la divergence de $\vec{E} $ est : $\tmop{div} ( \vec{E}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\partial}{\partial x} E_x + \frac{\partial}{\partial y} E_y + \frac{\partial}{\partial z} E_z$ \ ce qui correspond aux termes positifs (entre parenth{\`e}ses) restants ci-dessus. Nous obtenons : \begin{eqnarray*} {}[\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})]_x & = & \frac{\partial}{\partial x} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \Delta E_x\\ & = & \overrightarrow{\nabla_x} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \Delta E_x \end{eqnarray*} pr{\'e}cisons les choses : $\vec{\nabla} \cdot \vec{E}$ = divergence de $\vec{E}$ est un produit scalaire, le r{\'e}sultat est un scalaire. $\overrightarrow{\nabla_x} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E})$ est aussi un scalaire \ le m{\^e}me calcul sur les autres composantes nous donne : \begin{eqnarray*} \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})_y & = & \overrightarrow{\nabla_y} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \Delta E_y\\ \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E})_z & = & \overrightarrow{\nabla_z} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \Delta E_z \end{eqnarray*} Regroupons ces trois composantes : $\tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E}) = \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{\nabla_x} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \Delta E_x\\ \overrightarrow{\nabla_y} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \Delta E_y\\ \overrightarrow{\nabla_z} \cdot (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \Delta E_z \end{array} \right. = \vec{\nabla} (\overrightarrow{\nabla \cdot} \vec{E}) - \Delta E$ \ Nous retiendrons : \begin{eqnarray*} \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{E}) & = & \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \vec{E}) - \Delta \vec{E} \end{eqnarray*} la m{\^e}me chose, {\'e}crite diff{\'e}remment : \begin{eqnarray*} \tmop{rot} (\tmop{rot} \vec{\tmmathbf{E}}) & = & \nabla (\tmop{div} \vec{\tmmathbf{E}}) - \Delta \vec{\tmmathbf{E}} \end{eqnarray*} Nous avons maintenant {\`a} notre disposition tous les outils math{\'e}matiques qu'il faut pour d{\'e}montrer par le calcul, {\`a} partir des {\'e}quations de Maxwell, que les champs {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques variables, une fois cr{\'e}{\'e}s, se propagent dans le vide loin de toute mati{\`e}re. Toutefois nous verrons qu'ils sont produits, au d{\'e}part, par le d{\'e}placement de charges. Ce sera l'objet de l'article suivant sur la propagation des ondes {\'e}lectromagn{\'e}tiques. \ \ \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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