Rotationnel d'un champ de vecteurs
Dernière modif : 23/08/2016
Le rotationnel d'un champ de vecteurs. Où l'on retrouve notre opérateur nabla.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,graphicx,bbm,xcolor,theorem} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \newcommand{\exterior}{\wedge} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\tmtextbf}[1]{{\bfseries{#1}}} \newcommand{\tmtextit}[1]{{\itshape{#1}}} {\theorembodyfont{\rmfamily}\newtheorem{example}{Example}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Rotationnel d'un champ vectoriel} \maketitle Nous connaissons la divergence obtenue en faisant le produit scalaire du vecteur op{\'e}rateur $\vec{\nabla}$ avec un champ de vecteurs. Nous allons maintenant faire le {\tmstrong{produit vectoriel}} de $\nabla$ avec un champ vectoriel. Le r{\'e}sultat est appel{\'e} le {\tmem{rotationnel}} du champ de vecteurs. La divergence nous a servi pour {\'e}crire la premi{\`e}re {\'e}quation de Maxwell et nous servira {\`a} nouveau pour une autre {\'e}quation. Dans les articles suivants nous verrons que le rotationnel figure dans deux autres {\'e}quations de Maxwell (il y en a quatre en tout). {\noindent}{\color[HTML]{504000}\tmtextbf{D{\'e}finition . }}\tmtextit{\ }{\hspace*{\fill}}{\medskip} soit le champ vectoriel $\vec{E} : \mathbbm{R}^3 \longrightarrow \mathbbm{R}^3$ $\vec{E} \left\{ \begin{array}{l} E_x\\ E_y\\ \tmop{Ez} \end{array} \right.$ Le rotationnel est un op{\'e}rateur aux d{\'e}riv{\'e}es partielles qui a pour expression : $\tmop{rot} \vec{E} = \vec{\nabla} \times \vec{E}$\quad (parfois not{\'e} $\vec{\nabla} \exterior \vec{E}$ \ ; les anglophones {\'e}crivent $\tmop{curl} \vec{E}$) avec $\vec{\nabla} = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$ ou encore : $\vec{\nabla} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array} \right.$ $\tmop{rot} \vec{E} = \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} E_x\\ \\ E_y\\ \\ \tmop{Ez} \end{array}\right)$ voici donc les composantes du r{\'e}sultat (qui n'est pas exactement un vecteur, mais un pseudo-vecteur, parce que bien qu'il comporte trois composantes, celles-ci ne se comportent pas comme celles d'un vecteur vis-{\`a}-vis de certaines sym{\'e}tries) : \begin{eqnarray*} (\tmop{rot} \vec{E})_x & = & \frac{\partial}{\partial y} E_z - \frac{\partial}{\partial z} E_y \quad = \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\\ & & \\ (\tmop{rot} \vec{E}_y) & = & \frac{\partial}{\partial z} E_x - \frac{\partial}{\partial x} E_z \quad = \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\\ & & \\ (\tmop{rot} \vec{E}_z) & = & \frac{\partial}{\partial x} E_y - \frac{\partial}{\partial y} E_x \quad = \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \end{eqnarray*} J'ai {\'e}crit deux fois la m{\^e}me chose pour chaque composante afin de bien mettre en {\'e}vidence l'ordre des facteurs : En particulier il faut que les op{\'e}rateurs de d{\'e}rivation $\frac{\partial}{\partial i}$ soient toujours plac{\'e}s {\`a} gauche des quantit{\'e}s {\`a} d{\'e}river sinon l'{\'e}criture n'a pas de sens. L'op{\'e}rateur vectoriel $\nabla$ n'est en ce sens pas un vecteur ordinaire vis {\`a} vis du produit vectoriel. Et ce produit vectoriel n'est donc pas un produit vectoriel ordinaire, ces composantes ne sont pas des diff{\'e}rences entre des produits (multiplications) ordinaires, mais entre des r{\'e}sultats de d{\'e}rivations partielles. En clair $\frac{\partial}{\partial y} E_z$ signifie d{\'e}river partiellement la fonction repr{\'e}sentant la composante $E_z$ par rapport {\`a} la variable $y$ , alors que $E_z \frac{\partial}{\partial y}$ n'a pas de signification math{\'e}matique (on pourrait y voir un op{\'e}rateur affam{\'e}, mais pas un r{\'e}sultat). \ {\tmstrong{Que repr{\'e}sente le rotationnel}} Le rotationnel en un point d'un champ de vecteur repr{\'e}sente la rotation de ce champ autour de ce point, c'est {\`a} dire permet de conna{\^i}tre l'orientation du plan de circulation des lignes de champs autour de ce point (le vecteur rotationnel est orthogonal {\`a} ce plan) et {\guillemotleft} l'amplitude, la vitesse, la courbure {\guillemotright} (suivant le type de champ) de cette rotation (par son module). Voyons cela avec un exemple simple : \begin{example} rotationnel partout le m{\^e}me \end{example} soit un champ vectoriel $\vec{E} : \mathbbm{R}^3 \longrightarrow \mathbbm{R}^3$ d{\'e}finit comme suit : $\vec{E} \left\{ \begin{array}{l} E_x = - y\\ E_y = x\\ E_z = 0 \end{array} \right.$ou encore $\vec{E} = - y \vec{i} + x \vec{j} + 0 \vec{k}$ Tous les vecteurs de $\vec{E}$ sont situ{\'e}s dans le plan $x 0 y$ puisque la composante $z$ est nulle (ceci pour simplifier les calculs). Il est toutefois n{\'e}cessaire de consid{\'e}rer ce champ dans un espace {\`a} trois dimensions afin de pouvoir calculer le produit vectoriel. En voici une repr{\'e}sentation avec les petites fl{\`e}ches et des points align{\'e}s puis sans les fl{\`e}ches et des points distribu{\'e}s al{\'e}atoirement dans le plan : \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{400px}{400px}{\includegraphics{rot2.jpg}} & \resizebox{400px}{400px}{\includegraphics{rot1.jpg}} \end{tabular} Passons maintenant la parole {\`a} Monsieur M{\'e}t{\'e}o... {\c c}a va mal ! C'est en effet ce que nous allons calculer. Mais remarquons que cet exemple montre des vecteurs dont le module augmente lin{\'e}airement lorsqu'on {\tmem{s'{\'e}loigne}} du centre, ce qui correspond {\`a} ce qui se passe pour la vitesse de points situ{\'e}s sur un disque tournant, mais pas au vent dans une d{\'e}pression ou un cyclone car alors au contraire les vitesses augmenteraient lorsqu'on se {\tmem{rapproche}} du centre (conservation du moment cin{\'e}tique). Calcul du rotationnel : $\begin{array}{lll} (\tmop{rot} \vec{E})_x & = & \frac{\partial}{\partial y} E_z - \frac{\partial}{\partial z} E_y = \frac{\partial}{\partial y} 0 - \frac{\partial}{\partial z} x = 0 - 0 = 0\\ & & \\ (\tmop{rot} \vec{E}_y) & = & \frac{\partial}{\partial z} E_x - \frac{\partial}{\partial x} E_z = \frac{\partial}{\partial z} (- y) - \frac{\partial}{\partial x} 0 = 0 - 0 = 0\\ & & \\ (\tmop{rot} \vec{E}_z) & = & = \frac{\partial}{\partial x} E_y - \frac{\partial}{\partial y} E_x = \frac{\partial}{\partial x} x - \frac{\partial}{\partial y} (- y) = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1 + 1 = 2 \end{array}$ \ Ce rotationnel se r{\'e}duit donc {\`a} un vecteur dont la seule composante non nulle est orient{\'e}e suivant l'axe $z$ perpendiculaire au plan de rotation. $\tmop{rot} \vec{E} = \left\{ \begin{array}{l} 0\\ 0\\ 2 \end{array} \right.$\quad ou encore\quad$\tmop{rot} \vec{E} = 0 \vec{i} + 0 \vec{j} + 2 \vec{k} = 2 \vec{k}$ Ce rotationnel appliqu{\'e} au champ de vecteurs a la m{\^e}me valeur en tout point (sa seule composant non nulle est une constante, elle ne d{\'e}pend pas de $x$ ni de $y$) {\tmem{mais ce n'est bien s{\^u}r pas toujours le cas}}. Le champ vectoriel en lui m{\^e}me n'a pas de centre et chacun de ses vecteurs peut {\^e}tre repr{\'e}sent{\'e} au centre de la rotation pour faire le calcul. Le r{\'e}sultat du calcul pour n'importe quel point sera toujours le m{\^e}me pour {\tmem{ce champ vectorie}}l. \begin{example} rotationnel partout nul \end{example} soit un champ vectoriel $\vec{E} : \mathbbm{R}^3 \longrightarrow \mathbbm{R}^3$ d{\'e}finit comme suit : $\vec{E} \left\{ \begin{array}{l} E_x = y\\ E_y = x\\ E_z = 0 \end{array} \right.$ou encore $\vec{E} = y \vec{i} + x \vec{j} + 0 \vec{k}$ Il n'y a qu'un signe qui diff{\`e}re ($- y \leftrightarrow y$ pour la composante $x$) par rapport {\`a} l'exemple pr{\'e}c{\'e}dent. Tous les vecteurs de $\vec{E}$ sont situ{\'e}s dans le plan $x 0 y$. Il est toutefois n{\'e}cessaire de consid{\'e}rer ce champ dans un espace {\`a} trois dimensions afin de pouvoir calculer le produit vectoriel. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{400px}{400px}{\includegraphics{rot4.jpg}} & \resizebox{400px}{400px}{\includegraphics{rot3.jpg}} \end{tabular} Calcul du rotationnel : $\begin{array}{lll} (\tmop{rot} \vec{E})_x & = & \frac{\partial}{\partial y} E_z - \frac{\partial}{\partial z} E_y = \frac{\partial}{\partial y} 0 - \frac{\partial}{\partial z} x = 0 - 0 = 0\\ & & \\ (\tmop{rot} \vec{E}_y) & = & \frac{\partial}{\partial z} E_x - \frac{\partial}{\partial x} E_z = \frac{\partial}{\partial z} (- y) - \frac{\partial}{\partial x} 0 = 0 - 0 = 0\\ & & \\ (\tmop{rot} \vec{E}_z) & = & = \frac{\partial}{\partial x} E_y - \frac{\partial}{\partial y} E_x = \frac{\partial}{\partial x} x - \frac{\partial}{\partial y} y = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial y}{\partial y} = 1 - 1 = 0 \end{array}$ \ Ce rotationnel se r{\'e}duit donc au vecteur nul en tout point. $\tmop{rot} \vec{E} = \left\{ \begin{array}{l} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right. = 0 \vec{i} + 0 \vec{j} + 0 \vec{k} = \vec{0}$ Le r{\'e}sultat du calcul pour n'importe quel point sera toujours le m{\^e}me pour {\tmem{ce}} champ vectoriel. Il n'y a rien qui {\guillemotleft} tourne {\guillemotright} nulle part. \ \begin{example} Tourbillons, vortex etc... \end{example} Voici donc un exemple plus complexe dans lequel {\guillemotleft} {\c c}a tourne {\guillemotright} mais pas partout, ni partout dans le m{\^e}me sens. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{450px}{450px}{\includegraphics{rot5.jpg}} & \resizebox{500px}{500px}{\includegraphics{rot6.jpg}} \end{tabular} C'est le genre de situation que l'on rencontre fr{\'e}quemment dans les fluides, en bout des ailes d'un avion et dans le regard des hiboux. Vive l'informatique qui permet de tracer ces figures en une fraction de seconde ! A l'{\'e}vidence la valeur du vecteur rotationnel d{\'e}pendra de l'endroit pour lequel on le calcule, c'est {\`a} dire que cette fois ses composantes ne seront pas {\'e}gales {\`a} des valeurs fixes, mais seront des fonctions de $x$ et $y$. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Voici une capture d'{\'e}cran du code qui permet de tracer cela ({\`a} placer dans une boucle faisant {\'e}voluer $x$ et $y$). $s$ vaut $+ 1$ ou $- 1$ (sens de rotation) & \resizebox{399px}{145px}{\includegraphics{rot7.jpg}} \end{tabular} \ Ce qui correspond {\`a} un champ vectoriel de la forme : $x_1 = x + 100$ $x_2 = x - 100$ $\vec{E} \left\{ \begin{array}{l} E_x = \left[ \left( - y_1 / \sqrt{x_1^2 + y^2} \right) \times \sqrt{x_2^2 + y^2} \right] + \left[ \left( y_2 / \sqrt{x_2^2 + y^2} \right) \times \sqrt{x_1^2 + y^2} \right]\\ E_y = \left[ \left( x_1 / \sqrt{x_1^2 + y^2} \right) \times \sqrt{x_2^2 + y^2} \right] + \left[ \left( - x_2 / \sqrt{x_2^2 + y^2} \right) \times \sqrt{x_1^2 + y^2} \right]\\ E_z = 0 \end{array} \right.$ Il y a simplement deux p{\^o}les dans les {\'e}quations, pour $x_1^2 + y^2 = 0$ et $x_2^2 + y^2 = 0$ Le champ n'est pas d{\'e}fini pour ces deux valeurs des coordonn{\'e}es (singularit{\'e}s). {\noindent}{\color[HTML]{504000}\tmtextbf{Remarque . }}Ce n'est pas juste un avatar de ces {\'e}quations, c'est une chose que l'on rencontre si l'on se pose la question (par exemple) de la valeur du champ {\'e}l{\'e}ctrique {\`a} une distance nulle d'une particule {\'e}l{\'e}mentaire comme l'{\'e}lectron... En fait le mod{\`e}le repr{\'e}sentant une particule {\'e}l{\'e}mentaire comme un point de dimensions nulles situ{\'e} {\`a} un endroit totalement d{\'e}fini n'est pas tenable. On en reparlera.{\hspace*{\fill}}{\medskip} Le champ total dans notre exemple est en fait la somme de deux champs chacun contenant un des p{\^o}les, avec des rotations en sens inverses. On peut faire plus simple, ou plus compliqu{\'e}, c'est juste pour illustrer ce type de vortex. \ \ \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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