Divergence du champ électrique - 1ere équ. de Maxwell.
Dernière modif : 29/09/2016
Nous allons calculer la valeur non nulle de la divergence du champ électrique dans un volume contenant l'origine.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,graphicx} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \newcommand{\tmkbd}[1]{\texttt{#1}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Divergence d'un champ {\'e}lectrique {\tmkbd{}}\\ Premi{\`e}re loi de Maxwell} \maketitle Vous avons vu que la divergence d'un champ vectoriel 3D en $1 / r^2$ est nulle partout sauf pour un volume contenant l'origine. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Ci-contre : Champ 3D programm{\'e} en C++ Qt4 {\`a} voir {\guillemotleft} en louchant {\guillemotright}. \ & \resizebox{749px}{318px}{\includegraphics{champ1.jpg}} \end{tabular} Nous allons maintenant calculer cette valeur non nulle de la divergence dans ce volume particulier dans le cas du champ {\'e}lectrique. Nous avons d{\'e}j{\`a} fait connaissance avec le champ {\'e}lectrique qui, dans le cas d'une particule charg{\'e}e immobile est radial et d{\'e}croit en $1 / r^2$ {\`a} la distance $r$ de la particule. Sa valeur est $\| \vec{E} \| = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r^2}$ Nous avons calcul{\'e} le flux total {\`a} travers une surface ferm{\'e}e contenant la particule, il vaut : $\begin{array}{lll} \Phi_{\tmop{tot}} & = & \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r^2} \times 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \end{array}$et ne d{\'e}pend pas de l'aire de la surface. \begin{eqnarray} \Phi_{\tmop{tot}} & = & \frac{q}{\varepsilon_0} \end{eqnarray} o{\`u} $q$ est la somme des charges internes dans le cas o{\`u} il y a plusieurs charges dans la volume. Nous savons {\'e}galement que le bilan de flux pour un volume {\'e}l{\'e}mentaire est : \begin{eqnarray} d \Phi & = & (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) d V \end{eqnarray} La divergence du champ vectoriel pour un volume d{\'e}limit{\'e} par une surface ferm{\'e}e est {\'e}gale {\`a} la diff{\'e}rence entre le flux sortant et le flux entrant dans le volume. Si la surface ferm{\'e}e consid{\'e}r{\'e}e englobe l'origine, si donc l'origine est contenue dans le volume, il n'y a pas de flux entrant, la totalit{\'e} du flux sort du volume en traversant cette surface. Nous connaissons la valeur de ce flux total, voir (1). Lorsqu'il y a plusieurs charges dans le volume, on consid{\`e}re une densit{\'e} moyenne de charge $\rho$ telle que : \begin{eqnarray} d q & = & \rho \tmop{dV} \end{eqnarray} (ce qui donne bien la charge totale en int{\'e}grant sur le volume $q = \rho V$ ) (1) et (2) donnent : \begin{eqnarray} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) d V & = & \frac{d q}{\varepsilon_0} \end{eqnarray} (3) et (4) donnent : \begin{eqnarray*} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) d V & = & \frac{\rho d V}{\varepsilon_0} \end{eqnarray*} ce qui, en simplifiant par $d V$ nous donne la premi{\`e}re {\tmstrong{{\'e}quation de Maxwell}} : \begin{eqnarray*} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} & = & \frac{\rho}{\varepsilon_0} \end{eqnarray*} \ \ \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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