La divergence d'un champ vectoriel
Dernière modif : 29/09/2016
La divergence est un scalaire obtenu en faisant le produit scalaire du vecteur opérateur nabla par un champ vectoriel.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,graphicx,bbm,xcolor} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\tmcolor}[2]{{\color{#1}{#2}}} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Divergence d'un champ vectoriel} \maketitle \section{\paragraph{D{\'e}finition de la divergence :}} Nous allons reparler du vecteur op{\'e}rateur nabla $\nabla$ que nous avons rencontr{\'e} dans l'{\'e}tude du gradient d'un champ scalaire. Cet op{\'e}rateur n'est d{\'e}fini qu'en coordonn{\'e}es cart{\'e}siennes. \subsection{{\tmstrong{Rappel :}}} L'op{\'e}rateur nabla est essentiellement un op{\'e}rateur diff{\'e}rentiel qui op{\`e}re des d{\'e}riv{\'e}es partielles. Son produit scalaire par un champ {\tmstrong{scalaire}} donne un champ vectoriel : le gradient. $\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$ $\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}$\quad -> r{\'e}sultat un vecteur. Nous allons aujourd'hui appliquer nabla {\`a} un champ {\tmstrong{vectoriel}}. Nous obtenons ainsi la {\tmem{divergence}} du champ vectoriel.{\tmstrong{}} Pour cela il faut effectuer le {\tmstrong{produit scalaire}} du vecteur op{\'e}rateur nabla par le champ vectoriel et nous obtenons la divergence du champ vectoriel. $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \tmop{div} (\vec{E})$ (divergence de $\vec{E}$) -> r{\'e}sultat d'un produit scalaire, donc un scalaire. $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \nabla_x E_x + \nabla_y E_y + \nabla_z E_z$ en clair : $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$ Lorsque nous disons que nous appliquons nabla au champ vectoriel (et pas {\`a} un vecteur seul) nous voulons dire que nous l'appliquons en chaque point de l'espace aux vecteurs du champs vectoriel, et qu'en chacun de ces point nous obtenons un nombre scalaire. Tous ces scalaires forment un champ scalaire. Question : Que repr{\'e}sente cette divergence ? Pour r{\'e}pondre {\`a} cette question remarquons que c'est un produit scalaire obtenu en faisant la somme de trois termes. Voyons donc ce que repr{\'e}sentent chacun de ces termes. \subsection{{\tmstrong{Raisonnons en termes de flux :}}} Si l'on consid{\`e}re les composantes du vecteur $\vec{E}$, le flux {\'e}l{\'e}mentaire traversant une surface $d S_x$ {\'e}l{\'e}mentaire orthogonale {\`a} l'axe des $x$ au point $(x, y, z)$ est : $\partial \Phi_x = E_x (x, y, z) \times d S_x$ pour une surface {\'e}l{\'e}mentaire $d S_y$ orthogonale {\`a} l'axe des $y$ au point $(x, y, z)$ : $\partial \Phi_y = E_y \times d S_y$ et pour une surface {\'e}l{\'e}mentaire $d S_z $orthogonale {\`a} l'axe des $z$ au point $(x, y, z)$ : $\partial \Phi_z = E_y \times d S_z$ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} ces trois surfaces {\'e}l{\'e}mentaires $d S_x$ , $d S_y$ , $d S_y$ (d{\'e}doubl{\'e}es) peuvent former les faces d'un cube {\'e}l{\'e}mentaire de volume $d V$=$d S_x \times d S_y \times d S_z$. Supposons que le flux traverse ce cube. Le flux qui {\tmstrong{entre}} par la face de gauche est : $- E_x (x, y, z) \times d S_x = - E_x (x, y, z) \times d y d z$ puisque au point $(x, y, z)$ nous avons $d S_x = d y \times d z$ (par convention pour une surface ferm{\'e}e le flux sortant est positif, le flux entrant est n{\'e}gatif). & \resizebox{400px}{400px}{\includegraphics{../Divergence/cube1.jpg}} \end{tabular} Le flux qui {\tmstrong{sort}} par la face de droite situ{\'e}e en $(x + d x, y, z)$ est $E_x (x + d x, y, z) \times d S_x = E_x (x + d x, y, z) \times d y d z$ (sortant -> positif) La somme de flux entre celui qui entre et de celui qui sort est $d \Phi_x = E_x (x + d x, y, z) \times d y d z - E_x (x, y, z) \times d y d z = E_x (x + d x, y, z) - E_x (x, y, z)$ \begin{eqnarray*} d \Phi_x & = & E_x (x + d x, y, z) \times d y d z - E_x (x, y, z) \times d y d z\\ & = & [E_x (x + d x, y, z) - E_x (x, y, z)] \times d y d z\\ & & \\ & = & \left[ \frac{\partial E_x}{\partial x} d x \right] \times d y d z\\ & & \\ & = & \frac{\partial E_x}{\partial x} d x d y d z\\ & & \\ & = & \frac{\partial E_x}{\partial x} d V \end{eqnarray*} Le m{\^e}me calcul pour les directions $y$ et $z$ nous permet d'obtenir la diff{\'e}rence entre le flux total qui entre dans le cube et celui qui sort (on parle de {\tmem{bilan}} de flux): \begin{eqnarray*} d \Phi & = & \frac{\partial E_x}{\partial x} d V + \frac{\partial E_y}{\partial y} d V + \frac{\partial E_z}{\partial z} d V\\ & = & \left( \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) d V\\ & & \\ & = & (\vec{\nabla} . \vec{E}) d V \end{eqnarray*} Une divergence positive en un point $P (x, y, z)$ correspond {\`a} un flux majoritairement sortant autour de ce point. Si le champ de vecteur repr{\'e}sente la vitesse de particules d'un fluide, un fluide incompressible donnera lieu {\`a} des divergences nulles, au contraire d'un fluide compressible (par exemple un gaz) {\tmem{qui pourra}} donner lieu {\`a} un flux majoritairement entrant dans une zone en compression, ou majoritairement sortant d'une zone en expansion. C'est {\'e}galement le cas du champ {\'e}lectrique comme nous le verrons. Si nous consid{\'e}rons non plus un cube {\'e}l{\'e}mentaire mais un volume $V$ d{\'e}limit{\'e} par une surface ferm{\'e}e, le flux {\`a} travers cette surface est {\'e}gal {\`a} l'int{\'e}grale sur ce volume de la divergence du champ vectoriel. \begin{eqnarray*} \Phi & = & \int_V \tmop{div} (\vec{E}) d V = \bigiiint \tmop{div} (\vec{E}) d V \end{eqnarray*} et en 2D (dans le plan $\mathbbm{R}^2$) : $\Phi = \int_S \tmop{div} (\vec{E}) d S = \bigiint \tmop{div} (\vec{E}) d S$ \section{Exemples dans le plan $\mathbbm{R}^2$} Je vais commencer par donnes quelques exemples de divergence de champs simples (dans le plan $\mathbbm{R}^2$ ) : \subsection{Champ uniforme dans le plan $\mathbbm{R}^2$} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Soit le champ vectoriel $\vec{E} : \mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^2$ tel que $\vec{\mathbbm{E}} \left\{ \begin{array}{l} E_x = 10\\ E_y = 0 \end{array} \right.$ C'est un champ dit {\tmem{uniforme}} : Tous les vecteurs en tous points de l'espace (ici du plan) ont la m{\^e}me valeur. & \resizebox{200px}{200px}{\includegraphics{champ1.jpg}} \end{tabular} \ Calculons sa divergence : $\tmop{div} (\vec{E}) = \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial_x} + \frac{\partial E_y}{\partial_y} = 0 + 0 = 0$ Sa divergence est nulle (en tous points, $\forall \quad \tmop{le} \tmop{point} (x, y)$ consid{\'e}r{\'e}). Si l'on consid{\`e}re une petite surface (en 3D nous aurions dit volume) , le flux entrant est toujours {\'e}gal au flux sortant. \subsection{Champ unidirectionnel non uniforme dans le plan $\mathbbm{R}^2$} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Soit le champ vectoriel $\vec{E} : \mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^2$ tel que $\vec{\mathbbm{E}} \left\{ \begin{array}{l} E_x = a x\\ E_y = 0 \end{array} \right.$avec $a \neq 0$ C'est un champ dont tous les vecteurs sont parall{\`e}les et dont le module augmente lorsqu'on se d{\'e}place dans le sens des $x$ : & \resizebox{200px}{200px}{\includegraphics{champ4.jpg}} \end{tabular} Calculons sa divergence : $\tmop{div} (\vec{E}) = \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial_x} + \frac{\partial E_y}{\partial_y}$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial E_x}{\partial_x} & = & \frac{\partial}{\partial_x} (a x)\\ & = & a \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \frac{\partial E_y}{\partial_y} & = & 0 \end{eqnarray*} $\tmop{div} (\vec{E}) = a$ La divergence de ce champ est partout la m{\^e}me et {\tmstrong{elle n'est pas nulle}}. Tiens c'est curieux, pourtant ces vecteurs tous parall{\`e}les ne semblent pas du tout {\guillemotleft} diverger {\guillemotright}. Ils ne divergent pas quant {\`a} leur direction, mais il divergent quant {\`a} la valeur de leur module (on parle de divergence modulaire). \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Consid{\'e}rons une petite surface de hauteur $h$ et de largeur $l \quad$ et voyons ce qui se passe : & \resizebox{96px}{78px}{\includegraphics{champ5.jpg}} \end{tabular} Tous les vecteur qui entrent dans cette surface le font par le c{\^o}t{\'e} de gauche, ceux qui sortent le font par le c{\^o}t{\'e} de droite, les c{\^o}t{\'e}s haut et bas ne sont pas travers{\'e}s par le flux. Le flux entrant a pour valeur : \begin{eqnarray*} \Phi_{\tmop{in}} & = & \int_h \| \vec{E} \| \cos (\alpha) d h\\ & = & \int_h \| \vec{E} \| \cos (0) d h\\ & = & a x_1 h \end{eqnarray*} Le flux sortant a pour valeur : $\Phi_{\tmop{out}} = a x_2 h$ comme $x_2 > x_1$\quad ($x_2 - x_1 = l$) \ $\rightarrow$ $\Phi_{\tmop{out}} > \Phi_{\tmop{in}}$ Le flux total {\`a} travers la surface ferm{\'e}e {\'e}tant {\'e}gale {\`a} la diff{\'e}rence entre ces deux flux, elle vaut : $\Phi = a x_2 h - a x_1 h = a h (x_2 - x_1) = a h l = \tmcolor{magenta}{a S}$ avec $S = h l$ l'aire de la surface. or dans le plan $\mathbbm{R}^2$ nous avons trouv{\'e} que\quad$\Phi = \bigiint \tmop{div} (\vec{E}) d S$ Calculons donc cette int{\'e}grale dans notre exemple avec\quad$\tmop{div} (\vec{E}) = a$ trouv{\'e} plus haut : $\Phi = \int_S a d S = \tmcolor{magenta}{a S}$ Nous retrouvons bien le m{\^e}me r{\'e}sultat. Ce deuxi{\`e}me calcul nous a simplement montr{\'e} au passage que $\Phi_{\tmop{out}} > \Phi_{\tmop{in}}$ afin de nous convaincre que ce champ qui semble constant (dans l'espace) ne l'est pas du tout et que sa divergence qui semble nulle n'est pas du tout nulle. {\tmstrong{Remarque}} : concernant le flux et la divergence, lorsque nous parlons de variations, de constance, d'augmentation ou diminution de module etc... c'est par rapport {\`a} la position dans l'espace, jamais par rapport au temps. Les vecteurs d'un champ vectoriel peuvent varier dans le temps, ce n'est pas ce que nous {\'e}tudions ici. Nous {\'e}tudions (pour l'instant) une situation {\guillemotleft} fig{\'e}e {\guillemotright} dans le temps, statique. \subsection{Champ radial dans le plan $\mathbbm{R}^2$} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Soit le champ vectoriel $\vec{E} : \mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^2$ tel que $\vec{\mathbbm{E}} \left\{ \begin{array}{l} E_x = a x / \sqrt{(x^2 + y^2)}\\ E_y = a y / \sqrt{(x^2 + y^2)} \end{array} \right.$ avec $(x^2 + y^2) \neq 0$ Tous les vecteurs ont le m{\^e}me module qui ne d{\'e}pend pas de la position. \ & \resizebox{400px}{400px}{\includegraphics{champ6.jpg}} \end{tabular} Calculons sa divergence : $\tmop{div} (\vec{E}) = \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial_x} + \frac{\partial E_y}{\partial_y}$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial E_x}{\partial_x} & = & \frac{\partial}{\partial_x} \left( a x / \sqrt{(x^2 + y^2)} \right)\\ & = & \frac{a \hspace{0.17em} y^2}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \frac{\partial E_y}{\partial_y} & = & \frac{\partial}{\partial_x} \left( a y / \sqrt{(x^2 + y^2)} \right)\\ & = & \frac{a \hspace{0.17em} x^2}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*} Il vient : \begin{eqnarray*} \tmop{div} (\vec{E}) & = & \frac{a \hspace{0.17em} x^2}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{a \hspace{0.17em} y^2}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}\\ & & \\ & = & \frac{a \hspace{0.17em} (x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}\\ & & \\ & = & a (x^2 + y^2)^{1 - 3 / 2}\\ & = & a (x^2 + y^2)^{- 1 / 2}\\ & = & \frac{a^{} \hspace{0.17em}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{eqnarray*} Remarque : ce calcul e{\^u}t {\'e}t{\'e} plus simple en coordonn{\'e}es polaires, mais je voulais rester en coordonn{\'e}es cart{\'e}siennes pour coller {\`a} la repr{\'e}sentation graphique. Nous obtenons une divergence : \begin{itemizedot} \item positive, non nulle \item qui diminue proportionnellement au module du {\guillemotleft} rayon vecteur {\guillemotright} (= la distance au centre \ $r = \sqrt{x^2 + y^2}$) \end{itemizedot} Cela est d{\^u} {\`a} ce que les vecteurs, bien que de modules identiques, {\guillemotleft} s'{\'e}cartent {\guillemotright} en s'{\'e}loignant du centre (divergence directionnelle, positive). (Il serait plus juste de dire : pointent dans des directions qui s'{\'e}cartent. En effet les vecteurs ne sont pas cens{\'e}s bouger ! Le temps ne figure pas dans les {\'e}quations). Le flux entrant dans une surface d{\'e}limit{\'e}e par une courbe ferm{\'e}e sera inf{\'e}rieur aux flux sortant ($\tmop{div} (\vec{E}) > 0$). Si chaque vecteur repr{\'e}sente une goutte d'eau constituant un nuage, le nuage se dissipera. S'il repr{\'e}sente la vitesse de d{\'e}placement d'une mol{\'e}cule dans un gaz, la pression diminuera. Mais la valeur absolue de cette divergence directionnelle positive diminuant avec la distance au centre, cette divergence deviendra n{\'e}gligeable {\`a} grande distance. Cela se remarque d'ailleurs sur le graphique, {\`a} grande distance du centre une petite surface est travers{\'e}e par des vecteurs qui deviennent pratiquement parall{\`e}les. Le flux, lui, sera toujours le m{\^e}me. On tend alors vers un champ uniforme {\`a} grande distance. \ \section{Exemples dans l'espace $\mathbbm{R}^3$} \subsection{Champ radial en $1 / r^2$ dans l'espace $\mathbbm{R}^3$} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Soit le champ vectoriel $\vec{E} : \mathbbm{R}^3 \rightarrow \mathbbm{R}^3$ tel que $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$\quad (r est toujours > 0) $r^3 = (x^2 + y^2 + z^2)^{3 / 2}$ $\vec{\mathbbm{E}} \left\{ \begin{array}{l} E_x = \frac{x}{r^3}\\ E_y = \frac{y}{r^3}\\ \tmop{Ez} = \frac{z}{r^3} \end{array} \right.$ ci-contre : {\guillemotleft} vue d'artiste {\guillemotright} de ce champ & \resizebox{400px}{400px}{\includegraphics{champ7.jpg}} \end{tabular} V{\'e}rifions que ces valeurs de composantes donnent bien un module du vecteur proportionnel {\`a} $1 / r^2$ : \begin{eqnarray*} \| \vec{\mathbbm{E}} \| & = & \sqrt{(E_x^2 + E_y^2 + E_z^2)}\\ & & \\ & = & \left[ \left( \frac{x}{r^3} \right)^2 + \left( \frac{y}{r^3} \right)^2 + \left( \frac{z}{r^3} \right)^2 \right]^{1 / 2}\\ & & \\ & = & \left( \frac{x^2 + y^2 + z^2}{r^6} \right)^{1 / 2}\\ & & \\ & = & \left( \frac{r^2}{r^6} \right)^{1 / 2} = \left( \frac{1}{r^4} \right)^{1 / 2} = \frac{1}{r^2} \end{eqnarray*} Calculons sa divergence : $\tmop{div} (\vec{E}) = \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial_x} + \frac{\partial E_y}{\partial_y} + \frac{\partial E_z}{\partial_z}$ calculons chaque terme s{\'e}par{\'e}ment pour plus de clart{\'e}... \begin{eqnarray*} \frac{\partial E_x}{\partial_x} & = & \frac{\partial}{\partial_x} \left( \frac{x}{r^3} \right)\\ & & \\ & = & \frac{\partial}{\partial_x} \left( \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3 / 2}} \right)\\ & & \\ & = & \frac{1}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \hspace{0.17em} x^2}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*} (merci Maxima sous Linux) J'ai d{\'e}velopp{\'e} le facteur $r^3$ parce qu'il contient un terme en $x$ qu'il faut prendre en compte dans le calcul de la d{\'e}riv{\'e}e partielle en $x$. On le voit d'ailleurs appara{\^i}tre dans le second terme ($3 x^2 / \ldots .$) Calculons de m{\^e}me les d{\'e}riv{\'e}es partielles pour les autres composantes du vecteur : \begin{eqnarray*} \frac{\partial E_y}{\partial_y} & = & \frac{1}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \hspace{0.17em} y^2}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \frac{\partial E_z}{\partial_z} & = & \frac{1}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \hspace{0.17em} z^2}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*} au total : \begin{eqnarray*} \tmop{div} (\vec{E}) & = & \frac{1}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \hspace{0.17em} x^2}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \hspace{0.17em} y^2}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \hspace{0.17em} z^2}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}}\\ & = & \frac{3}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \hspace{0.17em} z^2}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}} - \frac{3 \hspace{0.17em} y^2}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}} - \frac{3 \hspace{0.17em} x^2}{(z^2 + y^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}}\\ & = & \frac{3}{r^3} - \frac{3 \hspace{0.17em} (x^2 + y^2 + z^2)}{r⁵}\\ & = & \frac{3}{r^3} - \frac{3 r^2 \hspace{0.17em}}{r⁵}\\ & = & \frac{3}{r^3} - \frac{3 \hspace{0.17em}}{r^3} = 0 \end{eqnarray*} L{\tmstrong{a divergence est nulle !}} Pourtant les vecteurs semblent bien s'{\'e}carter... En fait il y a deux contributions {\`a} la divergence : la divergence directionnelle (ici les vecteurs s'{\'e}cartent lorsqu'on s'{\'e}loigne du centre) et la divergence modulaire (le module des vecteurs d{\'e}cro{\^i}t lorsqu'on s'{\'e}loigne du centre en $1 / r^2$) N'oublions pas en effet ce que repr{\'e}sente la divergence, par d{\'e}finition : c'est, pour un volume consid{\'e}r{\'e}, le bilan entre le flux qui entre et celui qui sort du volume. Et dans le cas ci-dessus les vecteurs s'{\'e}cartent donc ils sortent du volume en {\'e}tant plus {\'e}cart{\'e}s, mais comme ils sortent plus loin du centre l'intensit{\'e} de ceux qui sortent est moindre que celle de ceux qui entrent. Et le bilan de flux dans le cas d'une loi en $1 / r^2$ est nul. Nous constatons donc qu'une repr{\'e}sentation graphique peut facilement {\^e}tre mal interpr{\'e}t{\'e}e, et m{\^e}me si elle peut aider {\`a} comprendre ce qui se passe il faut toujours r{\'e}soudre les {\'e}quations ou au moins analyser le probl{\`e}me alg{\'e}briquement avant de conclure. Mon prof' de math disait : la g{\'e}om{\'e}trie c'est l'art de raisonner juste sur une figure fausse. En fait on a vite fait de raisonner faux sur une figure juste ! Retenons donc que dans le cas d'un champ vectoriel en $1 / r^2$ la divergence est nulle. Partout ? Non! Presque partout ! Si l'on place le volume n'importe o{\`u} la divergence est nulle sauf si... sauf si le volume est plac{\'e} de telle fa{\c c}on qu'il englobe l'origine, sauf s'il contient l'origine. Car dans ce cas tous les vecteurs sortent de la surface qui d{\'e}limite ce volume, aucun ne rentre, et par cons{\'e}quent la divergence ne peut pas {\^e}tre nulle. Elle a une certaine valeur positive non nulle. Et quelle est cette valeur ? Je suis s{\^u}r que vous connaissez d{\'e}j{\`a} la r{\'e}ponse. Je vous dirai {\c c}a la prochaine fois. Ce sera le moment de parler de la premi{\`e}re loi de Maxwell. \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
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