Les champs scalaires et vectoriels. Présentation et exemples.
Dernière modif : 10/08/2016
Les champs scalaires et vectoriels sont partout présents en physique.



\documentclass{beamer} \usepackage[english]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,graphicx,bbm} \geometry{left= 10mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 0, left= 10mm, right= 10mm, top= 0} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Champs scalaires et vectoriels} \maketitle \section{\paragraph{Champ scalaire}} Nous avons vu un exemple de champ scalaire avec la temp{\'e}rature en tout point de l'espace. On pourrait citer aussi un champ de pression (dans un fluide), la densit{\'e}, l'altitude du relief (ou une hauteur), le potentiel {\'e}lectrique, la concentration d'un solvant ou d'un polluant, d'une fum{\'e}e dans l'air, l'humidit{\'e} dans l'air, la r{\'e}sistivit{\'e}, la mobilit{\'e} des porteurs dans un semi conducteur... \begin{tabular}{|l|} \hline Un {\tmstrong{champ scalaire}} est une fonction de plusieurs \\ \hline variables qui associe une seul nombre (ou scalaire) \\ \hline {\`a} chaque point de l'espace.\\ \hline \end{tabular} \ Nous l'{\'e}crirons : $F : \mathbbm{R}^3 \longmapsto \mathbbm{R}$ $F (x, y, z) = T$ Nous connaissons {\'e}galement l'op{\'e}rateur gradient $\bigtriangledown$ $\bigtriangledown f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{k}$ qui est un vecteur d{\'e}fini pour chaque point de l'espace. Il existe aussi des champs vectoriels (ou champs de vecteurs) qui associent {\`a} chaque point de l'espace un vecteur. C'est ce que nous allons {\'e}tudier maintenant. \section{Champ vectoriel} D{\'e}j{\`a} ne confondons pas champ vectoriel et espace vectoriel. Dans un champ vectoriel chaque vecteur est associ{\'e} {\`a} une position dont il d{\'e}pend. L'espace vectoriel est, quant {\`a} lui, l'ensemble de tous les vecteurs qu'on puisse former par combinaison lin{\'e}aire des vecteurs de la base. Des exemples de champs vectoriels ? Nous en connaissons d{\'e}j{\`a} au moins deux : \begin{itemizedot} \item les vecteurs gradients qui sont d{\'e}finis en chaque point de l'espace forment un champ vectoriel. \item Plus simplement les vecteurs positions ayant comme origine, pour chaque point de l'espace \ l'origine du rep{\`e}re, et comme extr{\'e}mit{\'e} le point consid{\'e}r{\'e}, forment un champ vectoriel. \end{itemizedot} Mais il en existe bien d'autres comme : \begin{itemizedot} \item les champs de vitesses (dans un fluide), les vents \item le champ {\'e}lectrique \item le champ magn{\'e}tique \item le champ gravitationnel \end{itemizedot} On remarquera qu'il est plus facile de trouver des exemples de champs vectoriels que scalaires. En fait les ph{\'e}nom{\`e}nes physiques sont essentiellement vectoriels (ils ont une direction et une orientation) du fait qu'ils d{\'e}coulent {\`a} notre {\'e}chelle des interactions gravitationnelle, et {\'e}lectromagn{\'e}tique qui sont orient{\'e}es. Et lorsqu'on trouve un champ scalaire on se rend compte qu'il s'agit souvent {\`a} l'{\'e}chelle microscopique d'une annulation du caract{\`e}re vectoriel par une agitation d{\'e}sordonn{\'e}e de tr{\`e}s nombreux constituants (particules, mol{\'e}cules...) \subsection{Champs vectoriels dans $\mathbbm{R}^2$ } {\tmstrong{exemple 1 :}} soit le champ vectoriel $F$ d{\'e}fini dans le plan $\mathbbm{R}^2$ tel que : $F : \mathbbm{R}^2 \longmapsto \mathbbm{R}^2$ $F (x, y) = \vec{V} \left(\begin{array}{c} v_x = y\\ v_y = - x \end{array}\right)$ \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Voici un trac{\'e} de quelques vecteurs constituant ce champ, choisis (par le programme informatique) en des emplacements biens align{\'e}s (mais ce n'est absolument pas obligatoire, on peut calculer un vecteur situ{\'e} {\`a} un endroit quelconque du plan). C'est un champ {\guillemotleft} circulaire {\guillemotright} comme on peut le constater. Qu'est-ce qui circule ? Un fluide ? Un liquide ? une foule ? En fait bien que nous {\'e}tudierons la {\guillemotleft} circulation {\guillemotright} d'un champ vectoriel, il ne faut pas perdre de vue qu'il s'agit d'un objet abstrait, math{\'e}matique, & \resizebox{500px}{500px}{\includegraphics{champ1.jpg}} \end{tabular} et que les calculs que nous effectuerons ne doivent pas obligatoirement s'appliquer {\`a} quoi que ce soit de mat{\'e}riel. Ce sont juste de vecteurs. Je tiens {\`a} pr{\'e}ciser ce point parce que si l'on prend comme analogie l'{\'e}coulement d'un liquide par exemple, le mod{\`e}le devient trop restrictif parce que les liquides sont incompressibles. Et lorsque nous {\'e}tudierons la divergence, cette incompressibilit{\'e} que ne poss{\`e}de pas {\`a} priori un champ vectoriel peut poser des probl{\`e}mes de compr{\'e}hension. Bien entendu ces objets abstraits en fin de compte seront utilis{\'e}s pour pour faire fonctionner des mod{\`e}les cens{\'e}s repr{\'e}senter des entit{\'e}s concr{\`e}tes. Il faudra juste trouver les bonnes {\'e}quations les d{\'e}finissant. Toutefois dans le cas de l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme, ces entit{\'e}s (champs {\'e}lectrique et magn{\'e}tique) bien que concr{\`e}tes (dans le sens {\guillemotleft} directement perceptible par les sens {\guillemotright}, ben oui, les rayons solaires, {\c c}a chauffe...) ne sont plus tout {\`a} fait vraiment mat{\'e}rielles, bien qu'indissociables de la mati{\`e}re et produites par la mati{\`e}re. Dans le cas de la physique quantique, il faut reconna{\^i}tre que les {\'e}quations subsistent mais que les entit{\'e}s et m{\^e}me les mod{\`e}les posent probl{\`e}me {\`a} notre interpr{\'e}tation. Mais puisque les {\'e}quations subsistent, continuons {\`a} les {\'e}tudier en d{\'e}tail ! \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Afin de bien illustrer le fait que les vecteurs consid{\'e}r{\'e}s ne doivent pas n{\'e}cessairement {\^e}tre align{\'e}s (dans le cas d'un champ dans $\mathbbm{R}^2$ et non pas dans $\mathbbm{N}^2$ {\'e}videmment), voici une repr{\'e}sentation du m{\^e}me champ vectoriel avec des vecteurs calcul{\'e}s pour des valeurs al{\'e}atoires des coordonn{\'e}es $(x, y)$. Et bien entendu le nombre de points qui {\tmem{peuvent}} {\^e}tre pris en compte est infini comme l'est tout intervalle de r{\'e}els dans $\mathbbm{R}$. Dans certains cas on repr{\'e}sente les vecteurs d'un champ vectoriel plus ou moins resserr{\'e}s par endroit en pr{\'e}cisant que cela donne une information suppl{\'e}mentaire sur l'objet physique {\'e}tudi{\'e}, mais alors & \resizebox{436px}{423px}{\includegraphics{champ2.jpg}} \end{tabular} cela doit {\^e}tre... pr{\'e}cis{\'e} dans la description (je pense par exemple {\`a} ce qui se fait couramment pour la repr{\'e}sentation de {\guillemotleft} lignes de champ magn{\'e}tique {\guillemotright}). {\tmstrong{Question :}} pourquoi les vecteurs (dans cet exemple) forment-ils des cercles ? En fait ils ne forment pas particuli{\`e}rement des cercles mais effectivement ils sont perpendiculaires aux rayons vecteurs (ou vecteurs positions ayant comme origine, pour chaque point de l'espace \ l'origine du rep{\`e}re, et comme extr{\'e}mit{\'e} le point consid{\'e}r{\'e}, qui forment un champ vectoriel). Voyons {\c c}a de plus pr{\`e}s : Lorsqu'on entend parler de perpendicularit{\'e}, on pense imm{\'e}diatement au produit scalaire. Calculons donc le produit scalaire du vecteur position $\vec{P}$ par le vecteur $\vec{V}$ de cet exemple : $\vec{P} \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right) . \vec{V} \left(\begin{array}{c} v_x = y\\ v_y = - x \end{array}\right) = x y + y (- x) = x y - x y = 0$ Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux. Notons aussi qu'un vecteur perpendiculaire {\`a} un rayon est tangent {\`a} un cercle qui passe par le point. \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Autre exemple : $F : \mathbbm{R}^2 \longmapsto \mathbbm{R}^2${\tmem{}} $F (x, y) = \vec{V} \left(\begin{array}{c} v_x = \frac{y}{\tmop{abs} (x^2 + y^2)}\\ v_y = \frac{- x}{\tmop{abs} (x^2 + y^2)} \end{array}\right)$ Maintenant les modules des vecteurs augmentent en se rapprochant du {\guillemotleft} centre {\guillemotright}. & \resizebox{426px}{423px}{\includegraphics{champ5.jpg}} \end{tabular} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} {\tmstrong{exemple 2 :}} {\tmstrong{}}soit le champ vectoriel $F$ d{\'e}fini dans le plan $\mathbbm{R}^2$ tel que : $F : \mathbbm{R}^2 \longmapsto \mathbbm{R}^2$ $F (x, y) = \vec{V} \left(\begin{array}{c} v_x = x\\ v_y = y \end{array}\right)$ C'est le champ de vecteurs positions dont je vous ai parl{\'e} plus haut. Les modules des vecteurs augmentent lorsqu'on {\tmem{s'{\'e}loigne }}du centre. & \resizebox{300px}{300px}{\includegraphics{champ3.jpg}} \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} {\tmstrong{exemple 3 :}} Voici {\`a} peu pr{\`e}s le m{\^e}me champ {\`a} ceci pr{\`e}s que les modules des vecteurs augmentent lorsqu'on se {\tmem{rapproche}} du centre. C'est un peu ce qui se passe dans le cas du champ {\'e}lectrique qui r{\`e}gne autour d'une particule charg{\'e}e. \ & \resizebox{199px}{196px}{\includegraphics{champ6.jpg}} \end{tabular} (J'ai aussi align{\'e} les vecteurs pour changer un peu...) \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} {\tmstrong{exemple 4 :}} soit le champ vectoriel $F$ d{\'e}fini dans le plan $\mathbbm{R}^2$ tel que : $F : \mathbbm{R}^2 \longmapsto \mathbbm{R}^2$ $F (x, y) = \vec{V} \left(\begin{array}{c} v_x = 20\\ v_y = 0 \end{array}\right)$ C'est un champ uniforme, constant, les vecteurs ont tous la m{\^e}me valeur en tout point. & \resizebox{415px}{410px}{\includegraphics{champ4.jpg}} \end{tabular} \subsection{Champs vectoriels dans l'espace $\mathbbm{R}^3$ } \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} soit le champ vectoriel $F$ d{\'e}fini dans l'espace $\mathbbm{R}^3$ tel que : $F : \mathbbm{R}^3 \longmapsto \mathbbm{R}^3$ $F (x, y, z) = \vec{V} \left(\begin{array}{c} v_x = x\\ v_y = y\\ v_z = z \end{array}\right)$ \ On ne peut plus simple. La boule au centre n'a d'autre utilit{\'e} que de montrer qu'il s'agit d'une vue dans l'espace. Voil{\`a} un Big Bang qui devrait plaire {\`a} Hubert Reeves ! \ & \resizebox{455px}{454px}{\includegraphics{champ3D1.jpg}} \end{tabular} Nous commen{\c c}ons {\`a} nous faire une id{\'e}e assez pr{\'e}cise de ce qu'est un champ vectoriel. \subsubsection{Exemple concret de champ vectoriel dans $\mathbbm{R}^3$: Le champ {\'e}lectrique} Nous savons que deux particules porteuses de charges {\'e}lectriques $q_0$ et $q_1$ \ s'attirent ou se repoussent mutuellement suivant une force proportionnelle au produit de leurs charges et inversement proportionnelle au carr{\'e} de la distance $r$ qui les s{\'e}pare : $\overrightarrow{f_1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q_{0 \times} q_1}{r^2} \vec{i}$ \ \ (dans le vide) $\vec{i}$ est un vecteur unitaire orient{\'e} suivant la droite qui passe par les deux particules. Rempla{\c c}ons la charge $q_1$ par une charge $q_2$ plac{\'e}e {\`a} la m{\^e}me distance de $q_0$. On suppose que $q_2$ n'est pas forc{\'e}ment {\'e}gale {\`a} $q_1$ mais qu'{\`a} part cela rien d'autre ne change. Nous obtenons la force suivante que subiront les deux particules, donc en particulier $q_2$ $\overrightarrow{f_2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q_{0 \times} q_2}{r^2} \vec{i}$ Si nous comparons les deux formules, nous voyons qu'une partie reste inchang{\'e}e, c'est le produit $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q_0}{r^2}$ qui ne d{\'e}pend que de la valeur de la charge $q 0$ et de la distance {\`a} laquelle on se place par rapport {\`a} elle. Tout se passe comme si la charge $q_0$ produisait {\tmem{quelque chose}} dans l'espace qui l'entoure, qui ne d{\'e}pend que d'elle et qui diminue suivant le carr{\'e} de la distance. C'est ce {\tmem{quelque chose}} que nous appelons le champ {\'e}lectrique. De quoi est-il fait ? D'un {\'e}change de photons virtuels nous dit la physique quantique. Est-il pr{\'e}sent autour de $q_0$ lorsqu'il n'y a pas de charge $q_1$ ou $q_2$ pour le d{\'e}tecter ? (et donc lorsqu'il n'y a pas de partenaire pour {\'e}changer les photons virtuels ?) En fait il n'y a pas de r{\'e}ponse {\`a} cette question puisque la question concerne justement le cas o{\`u} il n'y a PAS de particule {\guillemotleft}sonde{\guillemotright} permettant de conna{\^i}tre la r{\'e}ponse ! En effet pour d{\'e}tecter un champ {\'e}lectrique il faut utiliser une particule sensible {\`a} ce champ. Et alors on est plus dans le cas o{\`u} il n'y a pas de charge {\`a} proximit{\'e}. Toutefois la nature n'oublie jamais de placer le champ avec la bonne valeur lorsqu'on place une (ou plusieurs) particule {\`a} proximit{\'e}. Donc on peut {\guillemotleft}faire comme si{\guillemotright} le champ {\'e}tait toujours pr{\'e}sent, on ne sera jamais d{\'e}menti. Et {\c c}a tombe bien, cela correspond en tous points {\`a} notre d{\'e}finition d'un champ vectoriel (vectoriel et non scalaire parce que l'a force est orient{\'e}e suivant la ligne droite {\guillemotleft} le rayon {\guillemotright} qui joint les particules) : Le champ vectoriel se r{\'e}sume lui aussi {\`a} une (ou plusieurs) formule math{\'e}matique qui permet de calculer la valeur d'un vecteur en n'importe quel point de l'espace lorsqu'on d{\'e}cide d'y placer ledit vecteur. Mais rien ne nous oblige {\`a} dessiner un nombre infini de vecteurs pour le repr{\'e}senter, ni d'effectuer le calcul pour tous les points de l'espace, la formule math{\'e}matique suffit, toujours pr{\^e}te {\`a} fournir la bonne valeur. Nous noterons le champ {\'e}lectrique $\vec{E}$ et sa valeur (pour des particules immobiles, dites {\guillemotleft} au repos {\guillemotright}) est : $\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q_0}{r^2} \vec{i}$ D{\'e}s lors nous pouvons {\'e}crire la force (dans le cas de charges au repos) sous la forme : $\vec{f} = q \vec{E}$ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} De la d{\'e}finition de $\vec{E}$ nous d{\'e}duisons que le champ {\'e}lectrique engendr{\'e} par une particule unique (ou une charge consid{\'e}r{\'e}e comme ponctuelle) est radial. & \resizebox{339px}{336px}{\includegraphics{champ8.jpg}} \end{tabular} {\tmstrong{Les lignes de champ :}} Les lignes de champ d'un champ vectoriel sont des lignes imaginaires qui sont en tout point tangentes aux vecteurs. \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Dans le cas du champ {\'e}lectrique radial au voisinage d'une particule charg{\'e}e (ou d'une charge consid{\'e}r{\'e}e comme ponctuelle), les lignes de champ quittent la particule radialement, c'est {\`a} dire dispos{\'e}es comme les rayons d'une sph{\`e}re centr{\'e}e sur la particule. & \resizebox{500px}{500px}{\includegraphics{champ9.jpg}} \end{tabular} On d{\'e}montre que si plusieurs charges sont pr{\'e}sentes, leurs champs {\'e}lectriques en chaque point de l'espace s'additionnent (vectoriellement) et le r{\'e}sultat est nomm{\'e} champ r{\'e}sultant. Il suffit alors de remplacer le champ $\vec{E}$ dans la formule pr{\'e}c{\'e}dente par le champ r{\'e}sultant $\overrightarrow{E_R}$ pour conna{\^i}tre la force que subira la particule soumise {\`a} l'action de plusieurs autres. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Voici par exemple le champ vectoriel que nous calcule l'ordinateur (en 2D pour plus de clart{\'e}) dans le cas de deux charges de signes contraires plac{\'e}es c{\^o}te {\`a} c{\^o}te. Le programme fait juste la somme de deux vecteurs correspondants respectivement au champ produit par la particule de gauche et {\`a} celui produit par la particule de droite, pour chaque point. & \resizebox{500px}{500px}{\includegraphics{champ10.jpg}} \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} En augmentant quelque peu le nombre de vecteurs et en supprimant les pointes de fl{\`e}ches, on obtient quelque chose qui n'est pas sans rappeler les taches solaires. & \resizebox{500px}{500px}{\includegraphics{champ11.jpg}} \end{tabular} Nous allons maintenant pouvoir d{\'e}montrer pourquoi le champ d{\'e}croit en $1 / r^2$ et d'o{\`u} vient ce myst{\'e}rieux $\frac{1}{4 \pi}$ qui accompagne $\varepsilon_0$. Pour cela nous devons {\'e}tudier certaines propri{\'e}t{\'e}s des champs de vecteurs, telle le flux, la divergence, la circulation et le rotationnel. Maxwell, fais chauffer le caf{\'e}, on arrive ! \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
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