Le flux d'un champ vectoriel
Dernière modif : 10/08/2016
Le flux d'un champ vectoriel à travers une surface.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,graphicx,bbm,xcolor} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\tmtextbf}[1]{{\bfseries{#1}}} \newcommand{\tmtextit}[1]{{\itshape{#1}}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Flux d'un champ vectoriel} \maketitle \section{\paragraph{Premi{\`e}re approche :}} Pour d{\'e}finir le flux d'un champ vectoriel dans l'espace $\mathbbm{R}^3$, en un point de l'espace, il nous faut un champ vectoriel et une surface. Le flux en ce point est une quantit{\'e} scalaire proportionnelle au module du vecteur de ce champ en ce point par l'aire de la surface. Mais il faut pr{\'e}ciser les choses. Premi{\`e}rement le propre d'un champ vectoriel est d'{\^e}tre constitu{\'e} de vecteurs d{\'e}finis en chaque point de l'espace et variant en module et en direction lorsqu'on se d{\'e}place de proche en proche dans l'espace (Ils peuvent aussi varier dans le temps, mais ce n'est pas ce qui nous occupe ici). Par cons{\'e}quent il nous faudra choisir une surface petite, plus exactement un {\'e}l{\'e}ment infinit{\'e}simal $d S$ de surface autour du vecteur afin d'obtenir une valeur pr{\'e}cise du vecteur. Deuxi{\`e}mement le flux est consid{\'e}r{\'e} comme {\tmem{traversant}} la surface. Nous devons donc consid{\'e}rer un {\'e}l{\'e}ment de surface orthogonal au vecteur. Si nous voulons calculer le flux traversant un {\'e}l{\'e}ment faisant un angle quelconque avec le plan orthogonal au vecteur il faudra multiplier par le cosinus de l'angle entre la surface et le plan orthogonal. Si le vecteur et la surface sont dans le m{\^e}me plan le flux traversant cette surface sera donc nul. \section{Expression math{\'e}matique du flux } \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} - soit $F : \mathbbm{R}^3 \longmapsto \mathbbm{R}^3$ un champ vectoriel - soit $\vec{V}$ un vecteur de ce champ en un point $P$ - soit $d S$ un {\'e}l{\'e}ment de surface autour de $P$ faisant un angle $\alpha$ avec le plan orthogonal au vecteur. & \resizebox{500px}{500px}{\includegraphics{flux1.jpg}} \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} - soit $\vec{n}$ un vecteur unitaire normal {\`a} $d S$ ($d S$ {\'e}tant de dimensions infinit{\'e}simales, on peut le consid{\'e}rer comme plan, et dire que $\vec{n}$ est orthogonal {\`a} $d S$). Le flux {\'e}l{\'e}mentaire est $d \Phi = \vec{V} . \vec{n} d S$ C'est le produit scalaire [du vecteur consid{\'e}r{\'e}] par [le vecteur unitaire] le tout multipli{\'e} par $d S$. Ce qui peut {\'e}galement s'{\'e}crire : $d \Phi = \| \vec{V} \| \cos (\alpha) d S$ & \resizebox{500px}{500px}{\includegraphics{flux2.jpg}} \end{tabular} Le flux total {\`a} travers une surface quelconque est la somme des flux {\'e}l{\'e}mentaires sur cette surface, on l'obtient donc en calculant l'int{\'e}grale de $d \Phi$ sur la surface : \begin{eqnarray*} \Phi & = & \int_s d \Phi\\ & & \\ & = & \int_s \vec{V} . \vec{n} d S \end{eqnarray*} o{\`u} l'int{\'e}grale sur une surface $\int_s$est une bien entendu une int{\'e}grale triple suivant $(x, y, z)$ :\qquad$\bigiiint F (x, y, z) d x d y d z$ \ \section{Exemple concret : Flux d'un champ {\'e}lectrique} Nous avons vu que le champ {\'e}lectrique {\'e}manant d'une particule charg{\'e}e est radial, centr{\'e} sur la particule. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Pla{\c c}ons cette particule de charge $q$ au centre d'une sph{\`e}re imaginaire de rayon $r$ et calculons le flux total qui traverse la sph{\`e}re : La particule {\'e}tant au centre, tous les points de la sph{\`e}re se trouvent {\`a} la distance $r$ de la particule. Le champ {\'e}lectrique en chaque point de la sph{\`e}re est donc : $\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r^2}$ & \resizebox{412px}{342px}{\includegraphics{sphere2.jpg}} \end{tabular} Le flux {\'e}tant radial, tous les vecteurs traversent la sph{\`e}re orthogonalement aux {\'e}l{\'e}ments de surface $d S.$ Le $\alpha = \pi / 2$\quad -> \ $\cos (\alpha) = 1$. Le flux {\'e}l{\'e}mentaire en chaque point de la sph{\`e}re est donc : $d \Phi = \| \vec{E} \| d S = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r^2} d S$ Le flux total est : \begin{eqnarray*} \Phi & = & \int_s d \Phi\\ & & \\ & = & \int_s \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r^2} d S\\ & & \\ & = & \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r^2} \int_s d S\\ & & \\ & = & \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r^2} S \end{eqnarray*} $S$ {\'e}tant la surface de la sph{\`e}re, qui comme chacun sait vaut $S = \pi D^2 = 4 \pi r^2$ \begin{eqnarray*} \Phi & = & \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{q}{r^2} \times 4 \pi r^2\\ & & \\ & = & \frac{q}{\varepsilon_0} \end{eqnarray*} Nous remarquons un r{\'e}sultat qui peut para{\^i}tre {\'e}tonnant, $r^2$ {\`a} disparu, le flux total ne d{\'e}pend pas du rayon (de la taille) de la sph{\`e}re. Tout se passe {\guillemotleft} comme si {\guillemotright} le champ {\'e}lectrique {\'e}tait constitu{\'e} de quelque chose qui se dilue dans l'espace mais dont la quantit{\'e} totale se conserve. Mais il ne faut pas perdre de vue que l'analogie s'arr{\^e}te l{\`a} : le {\tmem{quelque chose}} en question n'est pas le flux une substance qui s'{\'e}coule, en particulier le flux du champ {\'e}lectrique ne s'{\'e}puise jamais. Une autre simplification (par $4 \pi$) est d{\^u}e au choix judicieux de la valeur de $\varepsilon_0$. Ce coefficient \ est appel{\'e} la permittivit{\'e} di{\'e}lectrique du milieu et se note toujours avec la lettre grecque {\'e}psilon $\varepsilon$ . Lorsque le milieu en question est le vide, on parle de la permittivit{\'e} di{\'e}lectrique du vide, ou plus simplement de la {\tmem{permittivit{\'e} du vide}} et on le note $\varepsilon_0$. On l'appelle aussi parfois la {\tmem{constante di{\'e}lectrique}}. Nous obtenons ainsi le th{\'e}or{\`e}me de Gauss : {\noindent}{\color[HTML]{504000}\tmtextbf{Th{\'e}or{\`e}me . }}\tmtextit{\ Le flux du champ {\'e}lectrique {\`a} travers une surface ferm{\'e}e est {\'e}gale {\`a} la somme des charges contenues dans le volume d{\'e}limit{\'e} par cette surface divis{\'e}e par $\varepsilon_0$. $\Phi_{\tmop{total}} = \frac{\sum Q_{\tmop{internes}}}{\varepsilon_0}$}{\hspace*{\fill}}{\medskip} Il s'agit du flux {\'e}lectrique total engendr{\'e} par une ou plusieurs particules charg{\'e}es, qui ne d{\'e}pend pas du rayon de la sph{\`e}re, ni m{\^e}me de la forme de la surface {\tmstrong{ferm{\'e}e}} qui entoure la particule. {\tmstrong{Valeur de $\varepsilon_0$ :}} $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 10^{- 7} c^2 \quad \tmop{soit} \sim 9 \times 10^9$ dans le syst{\`e}me d'unit{\'e}s S.I. {\tmstrong{Remarque :}} $\varepsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c^2}$ (exactement) o{\`u} $\mu_0$ est la constante magn{\'e}tique et $c$ la vitesse de la lumi{\`e}re. \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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