Fonctions de plusieurs variables. Dérivée partielle. Le gradient.
Dernière modif : 02/08/2016
Etude de la dérivée partielle de fonctions de plusieurs variables qui sont incontournables. Le gradient.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,graphicx,bbm} \geometry{left= 10mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 10mm, right= 10mm, top= 0mm} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmmathbf}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newtheorem{theorem}{Theorem} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Fonctions de plusieurs variables} \maketitle \paragraph{Introduction} Jusqu'{\`a} pr{\'e}sent nous n'avions consid{\'e}r{\'e} que des fonctions d'une seule variable, par exemple le temps $t$, ou une variable quelconque \ $x$ (qui n'est pas n{\'e}cessairement une dimension de l'espace) et nous {\'e}crivions la fonction $f (x) = y$ . Nous avons {\'e}tudi{\'e} le comportement de ces fonctions lorsque $x$ varie, et cela nous a fait d{\'e}couvrir l'int{\'e}gration, la fonction d{\'e}riv{\'e}e et les {\'e}quations diff{\'e}rentielles qui sont au coeur de bien des processus physiques et {\'e}lectriques de base. Mais nous vivons dans un espace {\`a} trois dimensions d'espace (peut-{\^e}tre m{\^e}me davantage, dix voire onze suivant la tr{\`e}s sp{\'e}culative th{\'e}orie des supercordes...) plus une de temps. Si nous voulons nous int{\'e}resser {\`a} l'{\'e}lectrostatique et {\`a} l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme par exemple, nous allons devoir {\'e}tudier ce qui se passe lorsqu'une particule charg{\'e}e se d{\'e}place dans un tel espace {\`a} trois dimensions. Nous verrons aussi qu'{\`a} cet espace math{\'e}matique (coordonn{\'e}es $x, y, z$) qu'on appelle parfois {\guillemotleft} le fond {\guillemotright}, se superpose ce que l'on appelle des {\guillemotleft} champs {\guillemotright}, {\'e}lectriques ou magn{\'e}tiques, ou autres... c'est {\`a} dire des grandeurs scalaires ou vectorielles qui varient continuellement d'un point de l'espace {\`a} un autre, et aussi dans le temps. Tout {\c c}a pour dire que la physique traite essentiellement de fonctions qui d{\'e}pendent simultan{\'e}ment de {\tmstrong{plusieurs}} variables. C'est aussi valable pour l'Optique, la th{\'e}orie de la Relativit{\'e} G{\'e}n{\'e}rale, la Thermodynamique, la M{\'e}canique des fluides, la M{\'e}canique Quantique, l'Electromagn{\'e}tisme, l'Astrophysique, la Cosmologie, et j'en oublie dans des domaines qui me sont moins familiers (la M{\'e}t{\'e}orologie par exemple). Bref, les fonctions de plusieurs variables sont incontournables, leur d{\'e}rivation aussi. Je n'en traiterai toutefois que les grandes lignes, avant d'aborder les {\tmem{champs de vecteurs}}. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Exemple d'une fonction de deux variables : (le sinus cardinal de la distance au centre de chaque point, c'est juste pour faire joli...) $z = f (x, y) = \frac{\sin \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ (trac{\'e} effectu{\'e} avec gnuplot sous Linux) \ & \resizebox{474px}{276px}{\includegraphics{flop2.jpg}} \end{tabular} \ Nous allons donc {\'e}tudier {\tmem{les d{\'e}riv{\'e}es partielles}} et ce qui s'ensuit naturellement, les {\tmem{{\'e}quations aux d{\'e}riv{\'e}es partielles}}. \section{La d{\'e}riv{\'e}e partielle} \subsection{D{\'e}finitions} La d{\'e}riv{\'e}e partielle concerne les fonctions de plusieurs variables. La d{\'e}riv{\'e}e partielle d'une fonction de plusieurs variables est la d{\'e}riv{\'e}e de cette fonction par rapport {\`a} l'une de ses variables, les autres {\'e}tant gard{\'e}es constantes. Cette d{\'e}riv{\'e}e partielle (dite {\tmem{premi{\`e}re}} ou de premier ordre) est not{\'e}e $\frac{\partial f}{\partial x}$ $\partial$ -> {\guillemotleft} ou d rond {\guillemotright} {\`a} ne pas confondre avec $\delta$ {\guillemotleft} delta minuscule, accroissement {\guillemotright} Dans le cas d'une fonction {\guillemotleft} ordinaire {\guillemotright} d'une seule variable, la d{\'e}riv{\'e}e partielle et la d{\'e}riv{\'e}e sont identiques : $f^{'} (x) = \frac{d f}{d x} = \frac{\partial f}{\partial x}$ Soit $f$ une fonction de $x$, et $f^{'}$sa fonction d{\'e}riv{\'e}e, si la variable $x$ s'accro{\^i}t de la valeur infinit{\'e}simale $d x$, la fonction $f$ s'accro{\^i}t d'une quantit{\'e} diff{\'e}rentielle $d f = f^{'} d x$. C'est une autre fa{\c c}on d'{\'e}crire la formulation pr{\'e}c{\'e}dente. Dans le cas d'une fonction de plusieurs variables $f (x_1, x_2, \ldots x_n)$, la d{\'e}riv{\'e}e partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ n'est pas LA d{\'e}riv{\'e}e de la fonction. La diff{\'e}rentielle {\guillemotleft} totale {\guillemotright} de la fonction est {\'e}gale {\`a} la somme de toutes les diff{\'e}rentielles partielles de la fonction par rapport {\`a} toutes ses variables : $d f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \delta x_2 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n} \delta x_{n 1}$ (1) Cela semble aller de soi, mais en fait {\c c}a m{\'e}rite d'{\^e}tre examin{\'e} de plus pr{\`e}s. Nous allons y revenir, mais avant de pr{\'e}ciser ce point, voyons des exemples de fonctions aux d{\'e}riv{\'e}es partielles : \subsection{Exemples de fonctions aux d{\'e}riv{\'e}es partielles} \subsubsection{exemple 1} soit la fonction $s = f (x_{1,} x_{2,} x_3) = 5 x^2_{_1} + 3 x_2^{} + 2 x^{}_3 + x_3^3 - 4 x_2 x_3$ Calculons les d{\'e}riv{\'e}es partielles de cette fonction par rapport {\`a} $x_{1,} x_2 \tmop{et} x_3$ $\frac{\partial f}{\partial x_1} = 10 x_1$ $\frac{\partial f}{\partial x_2} = 3 - 4 x_3$ $\frac{\partial f}{\partial x_3} = 2 + 3 x^2_3 - 4 x_2$ Les formules de la d{\'e}rivation classique s'appliquent, il faut juste consid{\'e}rer que les variables autres que celle consid{\'e}r{\'e}e sont des constantes (et ne pas s'emm{\^e}ler les pinceaux !). \subsubsection{exemple 2} soit la fonction $s = f (x, y, z) = 3 y + \cos (x^2_{} y z)$ remarque : ici $y$ est une variable comme $x$ et $z$ ce n'est pas le r{\'e}sultat de la fonction. Il faut s'habituer {\`a} ne pas confondre ce genre de choses... calcul de $\frac{\partial f}{\partial x}$ - le premier terme ne comprend pas $x$ donc d{\'e}riv{\'e}e = $0$ - le second terme est $\cos (x^2 y z)$ c'est une fonction compos{\'e}e (nous avons d{\'e}j{\`a} {\'e}tudi{\'e} la d{\'e}riv{\'e}e d'une fonction compos{\'e}e sur ce site): \begin{tabular}{|l|} rappel1 : soit $g (u (x)) = g \circ u (x)$\\ $[g \circ u (x)]^{'} = g^{'} (u (x)) \times u' (x)$\\ rappel2: $[\cos (x)]^{'} = - \sin (x)$ \end{tabular} \ ici $g () = \cos ()$ et $u (x) = x^2 y z$ $g^{'} = - \sin$ et $\frac{\partial u}{\partial x} = 2 x y z$ $g^{'} (u (x)) = - \sin (x^2 y z)$ $[\cos (x^2 y z)]^{'} = - \sin (x^2 y z) \times 2 x y z = - 2 x y z \sin (x^2 y z)$ Je ne d{\'e}taillerai pas les deux autres d{\'e}riv{\'e}es partielles, le principe est le m{\^e}me. Voici donc nos trois d{\'e}riv{\'e}es partielles : $\frac{\partial f}{\partial x} = - 2 x y z \sin (x^2 y z)$ $\frac{\partial f}{\partial y} = 3 - x^2 z \sin (x^2 y z)$ $\frac{\partial f}{\partial z} = - x^2 y \sin (x^2 y z)$ \subsubsection{Infinit{\'e}simal du deuxi{\`e}me ordre} Quittons maintenant ces exemples pour revenir ce que nous avons appel{\'e} en (1) la diff{\'e}rentielle {\guillemotleft} totale {\guillemotright} d'une fonction de plusieurs variables : $d f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \delta x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \delta x_2 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n} \delta x_{n 1}$ Voyons cela de plus pr{\`e}s. Prenons l'exemple d'une fonction de deux variables $S = f (x, y) = x \times y$ Les d{\'e}riv{\'e}es partielles de $f$ par rapport {\`a} $x$ et $y$ sont : $\frac{\partial f}{\partial x_{}} = y$ $\frac{\partial f}{\partial y_{}} = x$ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} $S$ peut repr{\'e}senter l'aire $x \times y$ d'un rectangle de c{\^o}t{\'e}s $x$ et $y$ repr{\'e}sent{\'e}e ci-contre en jaune. L'accroissement infinit{\'e}simal de $S$ lorsque $x$ croit de $d x$ est $\frac{\partial f}{\partial x_{}} d x_{} = y .d x$ -> c'est la surface du petit rectangle bleu. L'accroissement infinit{\'e}simal de $S$ lorsque $y$ croit de $d y$ est $\frac{\partial f}{\partial y_{}} d y_{} = x. d y$ -> c'est la surface du petit rectangle vert. & \resizebox{246px}{165px}{\includegraphics{rectangles2.jpg}} \end{tabular} {\'e}crire : $d S = \frac{\partial f}{\partial x_{}} d x_{} + \frac{\partial f}{\partial y} d y_{}$ revient donc {\`a} ignorer le petit {\guillemotleft} carr{\'e} {\guillemotright} (blanc) de surface $d x.d y$ . Pourtant lorsque la longueur du c{\^o}t{\'e} $x$ croit de la valeur $d x$ ET que la longueur du c{\^o}t{\'e} $y$ croit de la valeur $d y$ , au final la surface totale de $S$ croit de $y .d x + x. d y + d x .d y$ ce qui donne $S_{\tmop{totale}} = (x + d x) (y + d y) = x y + y .d x + x.d y + d x.d y$ Est-il raisonnable de n{\'e}gliger le terme $d x.d y$ ? Dans la plupart des cas oui parce qu'il est d'ordre 2 (c'est un {\guillemotleft} infinit{\'e}simal au carr{\'e} {\guillemotright}), et que sa valeur est donc bien plus petite que celles de $d x$ et $d y$ prises isol{\'e}ment, qui sont d{\'e}j{\`a} des valeurs infinit{\'e}simales. On peut s'en convaincre avec un simple calcul num{\'e}rique : soit $x = 10 m$ , $y = 10 m$ , $d x = 1 \tmop{mm}$ et $d y = 1 \tmop{mm}$ $\frac{d x}{x} = 10^{- 4}$ ce qui est d{\'e}j{\`a} {\tmem{par d{\'e}finition}} consid{\'e}r{\'e} comme tr{\`e}s petit (si ce n'est pas le cas il faut choisir un $d x$ encore plus petit !), et $\frac{d x.d y}{x.y} = \frac{10^{- 3} \times 10^{- 3}}{10 \times 10} = 10^{- 8}$ ce qui est $10^4$ fois plus petit encore. \subsection{Le gradient :} Le gradient est un {\tmstrong{vecteur}}. C'est le vecteur dont les composantes sont les d{\'e}riv{\'e}es partielles premi{\`e}res (c.-{\`a}-d. du premier ordre) de la fonction en un point donn{\'e}. Le gradient de la fonction $f$ est not{\'e} $\overrightarrow{\tmop{grad}} f$ ou $\bigtriangledown f$ Le signe $\bigtriangledown$se prononce {\tmstrong{nabla}} du fait de sa ressemblance avec une harpe grecque antique. Ne pas confondre avec le delta majuscule $\Delta$ (l'op{\'e}rateur {\tmem{laplacien}}). \subsubsection{Le gradient dans $\mathbbm{R}^3$} Soit une fonction $f (x, y, z)$ dans la base cart{\'e}sienne orthonorm{\'e}e de vecteurs unitaires ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) $\bigtriangledown f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{k}$\quad -> c'est un vecteur. (on note parfois $\overrightarrow{\bigtriangledown} f$ pour ne pas l'oublier) \ {\tmstrong{Champ scalaire - Gradient de temp{\'e}rature :}} Un exemple courant est celui de la fonction de plusieurs variables $T (x, y, z)$ donnant la temp{\'e}rature (c'est un scalaire) en chaque point de l'espace $\mathbbm{R}^3$. C'est la d{\'e}finition m{\^e}me d'un {\tmem{champ scalaire}} : \begin{tabular}{|l|} \hline Un {\tmstrong{champ scalaire}} est une fonction de plusieurs \\ \hline variables qui associe une seul nombre (ou scalaire) \\ \hline {\`a} chaque point de l'espace.\\ \hline \end{tabular} Nous verrons par la suite qu'il existe aussi des champs vectoriels. Mais restons-en pour l'instant {\`a} notre champ scalaire. Lorsqu'on se d{\'e}place d'un point {\`a} un autre dans l'espace, la temp{\'e}rature varie : $\bigtriangledown T = \frac{\partial T}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}$ -> c'est un {\tmem{vecteur}}, nous reviendrons sur ce point plus tard. Si (par exemple) on se d{\'e}place du point $\mathbf{P}_1$ au point infiniment proche $\mathbf{P}_2$ dans la direction de $\vec{j}$ uniquement, d'une longueur $\delta y$ la temp{\'e}rature qui {\'e}tait $T_1 (x, y, z)$ en $\mathbf{P}_1$ devient $T_2 (x, y + \delta t, z)$ en $\mathbf{P}_2$ On peut {\'e}crire : $T_2 (x, y + \delta y, z) = T_1 (x, y, z) + \frac{\partial T}{\partial y} \delta y$ Si l'on se d{\'e}place dans les trois directions {\`a} la fois, on peut g{\'e}n{\'e}raliser cette {\'e}criture : $T (x + \delta x, y + \delta y, z + \delta z) = T (x, y, z) + d T$ avec $d T = \frac{\partial T}{\partial x} \delta x + \frac{\partial T}{\partial y} \delta y + \frac{\partial T}{\partial z} \delta z$ -> c'est un scalaire (accroissement de temp{\'e}rature) . Certains {\'e}crirons $\bigtriangleup T$, mais je trouve qu'on a vite fait de confondre $\bigtriangleup$et $\bigtriangledown$!! $\delta x, \delta y, \delta z$ forment les composantes d'un vecteur, le vecteur d{\'e}placement de $\mathbf{P}_1$ en $\mathbf{P}_2$, appelons le \overrightarrow{{\tmstrong{$\tmmathbf{V}$}}} $\vec{\tmmathbf{V}} = \delta x \vec{i} + \delta y \vec{j} + \delta z \overrightarrow{k}$ Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{\bigtriangledown T} .$\overrightarrow{{\tmstrong{$\tmmathbf{V}$}}}\quad -> ce sont deux vecteurs, j'ai d'ailleurs mis les fl{\`e}ches pour bien le souligner. \begin{tabular}{|l|} rappel : produit scalaire\\ $(A_x \vec{i} + A_y \vec{j}) . (B_x \vec{i} + B_y \vec{j}) = A_x B_x + A_y B_y$ \end{tabular} \begin{eqnarray*} \overrightarrow{\bigtriangledown T} . \vec{\tmmathbf{V}} & = & \left( \frac{\partial T}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial T}{\partial z} \vec{k} \right) . (\delta x \vec{i} + \delta y \vec{j} + \delta z \overrightarrow{k})\\ & = & \frac{\partial T}{\partial x} \delta x + \frac{\partial T}{\partial y} \delta y + \frac{\partial T}{\partial z} \delta z\\ & = & d T \end{eqnarray*} Ainsi la {\tmem{diff{\'e}rence de temp{\'e}rature}} entre deux points est {\'e}gale au produit scalaire du gradient de $T$ par le vecteur de d{\'e}placement qui joint ces deux points. C'est la diff{\'e}rence de deux scalaires (deux temp{\'e}ratures) donc un scalaire, et le produit scalaire est effectivement un scalaire. Cette diff{\'e}rence de temp{\'e}rature entre les deux points est {\`a} l'{\'e}vidence ind{\'e}pendante du syst{\`e}me de coordonn{\'e}es choisi et en particulier elle est invariante par rotation (si nous faisons tourner le rep{\`e}re, (et en pla{\c c}ant l'un des points {\`a} l'origine afin de simplifier la chose...) Or nous savons que les composantes de $\vec{\tmmathbf{V}}$ , elles, se transforment suivant une r{\`e}gle pr{\'e}cise lors d'une rotation justement parce que $\vec{\tmmathbf{V}}$ est un vecteur. Et cette r{\`e}gle pr{\'e}cise nous l'avons vu lors de l'{\'e}tude des applications lin{\'e}aire, consiste {\`a} effectuer le produit matriciel de la matrice de rotation par ledit vecteur $\vec{\tmmathbf{V}}$ pour m{\'e}moire, voici cette matrice de rotation (d'un angle $\theta$ dans le plan {\tmstrong{}}$\mathbbm{R}^2$) : $\mathcal{M} \tmop{at} (\tmmathbf{R}_{\theta}) = \left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta\\ - \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ par exemple dans le plan {\tmstrong{}}$\mathbbm{R}^2$ ceci revient {\`a} dire que les composantes de $\overrightarrow{\tmmathbf{V}_1} \left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right)$ deviennent apr{\`e}s rotation d'un angle $\theta$ $\overrightarrow{\tmmathbf{V}_2} \left(\begin{array}{c} x_1 \cos \theta + y_1 \sin \theta\\ y_1 \cos \theta - x_1 \sin \theta \end{array}\right)$ Puisque la formule $ \overrightarrow{\bigtriangledown T} . \vec{\tmmathbf{V}} = d T$ est vraie ($d T$ est un scalaire), il faut donc que les composantes de $\bigtriangledown T$ se transforment par rotation d'un mani{\`e}re analogue {\`a} celle du vecteur $\vec{\tmmathbf{V}}$. Ceci est la d{\'e}monstration ( merci Richard Feynman qui me l'a souffl{\'e}... ) que $\bigtriangledown T$ est un vecteur, et qu'on peut donc mettre la petite fl{\`e}che $\overrightarrow{\bigtriangledown T}$. Mais alors on peut aller encore un peu plus loin dans notre raisonnement : Nous avons consid{\'e}r{\'e} le gradient d'un champ scalaire {\tmem{de temp{\'e}rature}}. Mais la d{\'e}monstration serait la m{\^e}me quel que soit le {\tmem{champ scalaire}} consid{\'e}r{\'e}. En fait ce qui fait {\'e}merger le caract{\`e}re vectoriel du gradient $\overrightarrow{\bigtriangledown T}$ {\`a} partir du champ scalaire $T (x, y, z)$ c'est {\tmstrong{l'op{\'e}rateur}} gradient $\bigtriangledown$ $\bigtriangledown = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$ c'est {\`a} dire : $\bigtriangledown_x = \frac{\partial}{\partial x}$ $\bigtriangledown_y = \frac{\partial}{\partial y}$ $\bigtriangledown_z = \frac{\partial}{\partial z}$ L'op{\'e}rateur $\bigtriangledown$tout seul ne repr{\'e}sente pas une une entit{\'e} tangible. C'est ce qu'on appelle un {\guillemotleft} op{\'e}rateur affam{\'e} {\guillemotright} (de diff{\'e}rencier quelque chose...) ! Mais alors si le champ $T$ n'a pas d'importance au point qu'on puisse l'omettre... Ce qui se transforme lors d'une rotation ce sont les composantes de l'op{\'e}rateur $\bigtriangledown$ ! D'o{\`u} l'{\'e}criture symbolique suivante pour une rotation d'un angle $\theta$ dans le plan $x 0 y$ : $\bigtriangledown_{x_2} = \frac{\partial}{\partial x_1} \cos \theta + \frac{\partial}{\partial y_1} \sin \theta$ $\bigtriangledown_{y_2} = \frac{\partial}{\partial y_1} \cos \theta - \frac{\partial}{\partial x_1} \sin \theta$ Ces composantes se transforment donc comme celles d'un vecteur, on parlera donc d'un {\tmem{vecteur op{\'e}rateur}}. Nous retiendrons que (dans $\mathbbm{R}^3$) : $\overrightarrow{\bigtriangledown} X = \frac{\partial X}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial X}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial X}{\partial z} \vec{k}$ cons{\'e}quences : Le gradient en un point est donc un vecteur. Il a une orientation dans l'espace qui d{\'e}termine la direction dans laquelle la temp{\'e}rature (dans notre cas) varie le plus vite lorsqu'on se d{\'e}place vers un point proche. En effet le produit scalaire de deux vecteurs est {\'e}gal, rappelons-le, au produit de leurs modules par le cosinus de l'angle form{\'e} par ces vecteurs : $\begin{array}{lll} \vec{\mathbf{A}} . \vec{\mathbf{B}} & = & \| \vec{\mathbf{A}} \| . \| \vec{\mathbf{B}} \| . \cos a \end{array}$ Ce produit scalaire est donc maximal si les vecteurs sont colin{\'e}aires ($\cos 0 = 1$) et minimal (en fait nul) si les vecteurs sont orthogonaux ($\cos \frac{\pi}{2} = 0$). On remarque donc une autre propri{\'e}t{\'e} du gradient : il existe une direction (perpendiculaire au vecteur gradient) dans laquelle la temp{\'e}rature ne varie pas. \ En {\'e}lectrostatique nous verrons que cette propri{\'e}t{\'e} permettra de d{\'e}finir les surfaces {\'e}quipotentielles en 3D, et plus g{\'e}n{\'e}ralement des isosurfaces (ou en 2D des isobares sur les cartes m{\'e}t{\'e}orologiques), voire des courbes de niveau sur les cartes topographiques. \begin{theorem} Le gradient de $f$ est perpendiculaire en tout point {\`a} la ligne de niveau de $f$ en ce point. \end{theorem} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Voici une illustration de cette propri{\'e}t{\'e} : Soit la fonction $f (x, y)$ qui a chaque point du plan horizontal associe une hauteur. Ce peut {\^e}tre une colline ou une coupole pos{\'e}e au sol, comme vous voudrez. Si on trace des courbes de niveau pour chaque hauteur ($\approx${\guillemotleft} parall{\`e}les {\guillemotright} sur une mappemonde) et des lignes de plus forte pente (colin{\'e}aires au gradient de $f (x, y)$ en tout points, $\approx${\guillemotleft} m{\'e}ridiens {\guillemotright} sur une mappemonde), ils se croisent {\`a} angle droit. & \resizebox{506px}{298px}{\includegraphics{coupole2.jpg}} \end{tabular} \ \section{Int{\'e}grale multiple :} C'est une forme d'int{\'e}grale qui concerne les fonctions de plusieurs variables. Le calcul d'int{\'e}grale multiple se r{\'e}duit en g{\'e}n{\'e}ral {\`a} plusieurs calculs d'int{\'e}grales simples. Je n'en dis pas d'avantage pour l'instant. Je pr{\'e}f{\`e}re vous parler de champs vectoriels, de la divergence et du rotationnel, toutes ces jolies choses qui nous rapprochent {\`a} grands pas des Equations de Maxwell. \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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