Applications linéaires : exemples concrets
Dernière modif : 24/07/2016
Nous allons voir de plus près quelques exemples d'applications linéaires



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath,graphicx,bbm,xcolor} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\tmcolor}[2]{{\color{#1}{#2}}} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmmathbf}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \title{Applications lin{\'e}aires - Exemples} \maketitle Apr{\`e}s avoir {\'e}tudi{\'e} successivement (et succinctement) \begin{itemizedot} \item les espaces vectoriels, \item les applications lin{\'e}aires qui relient leurs vecteurs entre-eux, \item puis les matrices qui repr{\'e}sentent ces applications lin{\'e}aires et qui permettent d'effectuer toutes sortes de calculs... \end{itemizedot} nous allons {\`a} pr{\'e}sent voir ce que tout cela donne en pratique, au travers de quelques exemples simples mais bien concrets. \section{D{\'e}rivation d'un polyn{\^o}me :} La d{\'e}rivation est une application lin{\'e}aire. Consid{\'e}rons l'espace vectoriel constitu{\'e} par les polyn{\^o}me degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $2$, dot{\'e} des lois (+) et (.): ($\mathbbm{R}_2 [x], +, .$) $\mathbbm{R}_2 [x] = \{ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \}$ prenons comme base \ $\mathcal{B} (1, x, x^2)$ Remarquons que : $\dim (\mathbbm{R}_2 [x]) = 3$ soit $y (x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ un vecteur de cet espace vectoriel $y' \in$($\mathbbm{R}_2 [x], +, .$) muni de la base $\mathcal{B}' (1, x)$ Nous pouvons {\'e}crire une application lin{\'e}aire $\varphi : (\mathbbm{R}_2 [x], +,) \rightarrow (\mathbbm{R} [x], +, .)$ qui {\`a} chaque vecteur $y (x)$ fait correspondre une vecteur $y' (x)$ $\varphi (y (x)) = y' (x)$ L'application lin{\'e}aire $\varphi$ peut {\^e}tre repr{\'e}sent{\'e}e par une matrice {\tmstrong{$\mathcal{M}$}} de 3 colonnes et 2 lignes : $\mathcal{M}= \left(\begin{array}{ccc} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{array}\right)$ Calculons les images par cette application lin{\'e}aire des vecteurs de la base $\mathcal{B}$ d{\'e}rivons donc $1$ , $x$, et $x^2$ \ qui sont les vecteurs de la base $\mathcal{B}$ $\varphi (1) = (1)' = 0$\quad ce qui s'{\'e}crit $0 \times 1 + 0 \times x$ dans la base $\mathcal{B}' (1, x)$, c.a.d: $00$ -> ce premier r{\'e}sultat nous fournit le contenu de la premi{\`e}re colonne de la matrice $\varphi (x) = (x)^{'} = 1$\quad ce qui s'{\'e}crit $1 \times 1 + 0 \times x$ dans la base $\mathcal{B}' (1, x)$, c.a.d: $10$ -> ce deuxi{\`e}me r{\'e}sultat nous fournit le contenu de la deuxi{\`e}me colonne de la matrice $\varphi (x^2) = (x^2)^{'} = 2 x$\quad ce qui s'{\'e}crit $0 \times 1 + 2 \times x$ dans la base $\mathcal{B}' (\tmcolor{blue}{1}, {\color[HTML]{008000}x})$, c.a.d: $02$ -> ce troisi{\`e}me r{\'e}sultat nous fournit le contenu de la troisi{\`e}me colonne de la matrice Nous pouvons donc {\'e}crire notre matrice de d{\'e}rivation : $\mathcal{M}= \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$ Cela pr{\'e}sente ainsi un aspect assez simple pour une d{\'e}rivation. {\guillemotleft}Mais voyons {\guillemotleft} si {\c c}a marche {\guillemotright}, utilisons donc cette matrice pour d{\'e}river un polyn{\^o}me : soit donc $y (x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ un vecteur de \ l'espace vectoriel ($\mathbbm{R}_2 [x], +, .$) ses composantes sont $a_{0,} a_{1,} a_2$ on peut l'{\'e}crire sous forme d'un vecteur colonne $v \left(\begin{array}{c} a_0\\ a_1\\ a_2 \end{array}\right)$ calculons son image par l'application lin{\'e}aire $\varphi$ :(c'est {\`a} dire le produit matriciel de la matrice $\mathcal{M}$repr{\'e}sentant $\varphi$ \ par ce vecteur): $\varphi (v) =\mathcal{M} \left(\begin{array}{c} a_0\\ a_1\\ a_2 \end{array}\right) $=$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} a_0\\ a_1\\ a_2 \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{c} 0 + a_1 + 0\\ 0 + 0 + 2 a_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1\\ 2 a_2 \end{array}\right)$ Le r{\'e}sultat est un vecteur colonnes {\`a} 2 composantes exprim{\'e} dans la base $\mathcal{B}' (\tmcolor{blue}{1}, {\color[HTML]{008000}x})$ ce qui signifie que $y' (x) = a_1 \times \tmcolor{blue}{1} + 2 a_2 \times {\color[HTML]{008000}x} = a_1 + 2 a_2 x$ Ce qui est bien la d{\'e}riv{\'e}e du polyn{\^o}me : $y' (x) = a_1 + 2 a_2 x$ \ Nous allons maintenant traiter d'autres exemples... \section{Rotation d'angle $\theta$ dans le plan} $\tmmathbf{R}_{\theta} : \mathbbm{R}^2 \rightarrow \mathbbm{R}^2$, \qquad$\tmmathbf{R}_{\theta} \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{c} x \cos \theta + y \sin \theta\\ - x \sin \theta + y \cos \theta \end{array}\right)$ \ En quoi cette application lin{\'e}aire repr{\'e}sente-t-elle une rotation ? \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Supposons que ce soit le cas et calculons comment se transforment les coordonn{\'e}es. Repr{\'e}sentons l'espace $\mathbbm{R}^2$ par un plan muni d'une base orthonorm{\'e}e $(\vec{i}, \vec{j})$. Tra{\c c}ons deux vecteurs $v_1$ et $v_2$ , de m{\^e}me module $a$ faisant entre eux un angle $\theta .$ \left\|$v_1$\right\|=\left\|$v_2$\right\|=$a$ $v_1 = (a \cos \alpha_1) \vec{i} + (a \sin \alpha_1) \vec{j}$ $v_1 = x \vec{i} + y \vec{j}$ (par hypoth{\`e}se, voir fig. ci-contre) & \resizebox{385px}{292px}{\includegraphics{Capture_004.jpg}} \end{tabular} $v_2 = (a \cos \alpha_2) \vec{i} + (a \sin \alpha_2) \vec{j}$ $\alpha_2 = \alpha_1 - \theta$ (par hypoth{\`e}se) soit $v_2 = x_2 \vec{i} + y_2 \vec{j}$ (voir fig. ci-contre) on identifie $x$ et $y$\quad ainsi que $x_2$ et $y_2$ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} $\left\{ \begin{array}{l} x = a \cos \alpha_1\\ y = a \sin \alpha_1 \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} x_2 = a \cos \alpha_2 = a \cos (\alpha_1 - \theta)\\ y_2 = a \sin \alpha_2 = a \sin (\alpha_1 - \theta) \end{array} \right.$ & \ \ \end{tabular} Il y a de la simplification {\`a} la sauce siacob{\'e} coasib{\'e} dans l'air... \begin{tabular}{|l|} rappel de trigo :\\ $\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$\\ $\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ \end{tabular} \begin{eqnarray*} x_2 & = & a \cos (\alpha_1 - \theta)\\ & = & a (\cos \alpha_1 \cos \theta + \sin \alpha_1 \sin \theta)\\ & = & a \cos \alpha_1 \cos \theta + a \sin \alpha_1 \sin \theta\\ & = & x \cos \theta + y \sin \theta \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y_2 & = & a \sin (\alpha_1 - \theta)\\ & = & a (\sin \alpha_1 \cos \theta - \cos \alpha_1 \sin \theta)\\ & = & a \sin \alpha_1 \cos \theta - a \cos \alpha_1 \sin \theta\\ & = & y \cos \theta - x \sin \theta \end{eqnarray*} Nous retrouvons effectivement $\tmmathbf{R}_{\theta} \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{c} x \cos \theta + y \sin \theta\\ - x \sin \theta + y \cos \theta \end{array}\right)$ (cette application lin{\'e}aire constitue une {\'e}criture bien plus compacte et d{\'e}barrass{\'e}e de param{\`e}tres inutiles comme le module de $v$). \subsection{Matrice de rotation} Cette application lin{\'e}aire que nous venons de voir peut {\^e}tre repr{\'e}sent{\'e}e par une matrice, dite matrice de rotation : On consid{\`e}re le plan vectoriel $\mathbbm{R}^2 $orthonorm{\'e} \ muni de la base canonique $(\vec{i}, \vec{j})$ L'application lin{\'e}aire {\guillemotleft} rotation d'angle $\theta$ {\guillemotright} va de $\mathbbm{R}^2$ dans $\mathbbm{R}^2 .$ Un vecteur $v_1 $a pour expression $v_1 = x \vec{i} + y \vec{j}$ $\tmmathbf{R}_{\theta} (x, y) = (x \cos \theta + y \sin \theta) \vec{i} + (- x \sin \theta + y \cos \theta) \vec{j}$ Calculons la matrice de $\tmmathbf{R}_{\theta}$ sachant que la base d'arriv{\'e}e est la m{\^e}me que celle de d{\'e}part $\mathbbm{R}^2$. ici {\guillemotleft} mettons les points sur les i ! (ou plut{\^o}t les petites fl{\`e}ches !!){\guillemotright} dans cette base $\mathbbm{R}^2$, le vecteur $\vec{i}$ a pour expression $\vec{i} \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)$ et le vecteur \overrightarrow{$j$} a pour expression $\vec{j} \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)$ on peut aussi les {\'e}crire $\vec{i} = 1 \times \vec{i} + 0 \times \vec{j}$ et $\vec{j} = 0 \times \vec{i} + 1 \times \vec{j}$ $\tmmathbf{R}_{\theta} (\vec{i}) =\tmmathbf{R}_{\theta} \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \cos \theta + 0 \sin \theta\\ - 1 \sin \theta + 0 \cos \theta \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \cos \theta\\ - \sin \theta \end{array}\right)$ qui s'{\'e}crit aussi $\tmmathbf{R}_{\theta} (\vec{i}) = (\tmcolor{blue}{\cos \theta}) \vec{i}$ + {\color[HTML]{008000}$({\color[HTML]{008000}- \sin \theta})$} $\vec{j}$ Ces coefficients sont ceux qui figureront dans la premi{\`e}re colonne de la matrice (en couleur) . $\tmmathbf{R}_{\theta} (\vec{j}) =\tmmathbf{R}_{\theta} \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \cos \theta + 1 \sin \theta\\ - 0 \sin \theta + 1 \cos \theta \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \sin \theta\\ \cos \theta \end{array}\right)$ qui s'{\'e}crit aussi $\tmmathbf{R}_{\theta} (\vec{j}) =$\left($\sin \theta$\right) $\vec{i} + (\cos \theta)$ $\vec{j}$ Ces coefficients sont ceux qui figureront dans la seconde colonne de la matrice. On peut donc maintenant {\'e}crire colonne par colonne la matrice de $\tmmathbf{R}_{\theta}$ : $\mathcal{M} \tmop{at} (\tmmathbf{R}_{\theta}) = \left(\begin{array}{cc} \tmcolor{blue}{\cos \theta} & \sin \theta\\ {\color[HTML]{008000}- \sin \theta} & \cos \theta \end{array}\right)$ \subsubsection{Utilisation de cette matrice de rotation :} Soit $\overrightarrow{v_1} \left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right)$ un vecteur de $\mathbbm{R}_2$ son image $\overrightarrow{v_2}$ par la matrice de rotation sera {\'e}gale au produit {\tmem{matriciel}} de la matrice de rotation par ledit vecteur : $\overrightarrow{v_2} = \mathcal{M} \tmop{at} (\tmmathbf{R}_{\theta}) \left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \tmcolor{blue}{\cos \theta} & \sin \theta\\ {\color[HTML]{008000}- \sin \theta} & \cos \theta \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right)$ qui est le produit matriciel d'une matrice $2 \times \tmcolor{blue}{2}$ (2 lignes et 2 colonnes) par une matrice $\tmcolor{blue}{2} \times 1$ (2 lignes et 1 colonne). C{\^o}t{\'e} format, pas de probl{\`e}me donc. Le r{\'e}sultat sera de format $2 \times 1.$ Disposons les matrices afin d'effectuer le produit {\tmem{matriciel}} : \begin{tabular}{ll} TROU CARRE & $\left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right)$\\ $\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta\\ - \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ & $\left(\begin{array}{c} x_2\\ y_2 \end{array}\right)$ \end{tabular} Calculons les composantes $x_2$ et $y_2$ de $\overrightarrow{v_2}$ par la m{\'e}thode des produits {\tmem{scalaires}} comme nous avons appris {\`a} le faire : $\left\{ \begin{array}{l} x_2 = x_1 \cos \theta + y_1 \sin \theta\\ y_2 = x_1 (- \sin \theta) + y_1 \cos \theta \end{array} \right.$ donc : $\overrightarrow{v_2} = (x_1 \cos \theta + y_1 \sin \theta) \vec{i} + (y_1 \cos \theta - x_1 \sin \theta) \vec{j}$ C'est bien ce que nous avions trouv{\'e} pr{\'e}c{\'e}demment par le calcul direct des composantes. Si l'on enl{\`e}ve tous mes commentaires, on voit que la m{\'e}thode de calcul par les matrices est bien plus l{\'e}g{\`e}re que la m{\'e}thode directe (d{\`e}s lors que l'on connait la matrice bien s{\^u}r, mais cette {\'e}tape n'est {\`a} faire qu'une fois et peut ensuite servir pour des milliers de calculs). En programmation informatique, de telles matrices se pr{\^e}tent bien {\`a} une impl{\'e}mentation sous forme de fonctions ou plus pr{\'e}cis{\'e}ment de m{\'e}thodes d'un objet, en C++ (ou tout autre langage orient{\'e} objet). \ \ \ \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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