VECTEURS
Dernière modif : 24/09/2016
Les vecteurs, les Espaces vectoriels. Les bases avant d'attaquer l'électromagnétisme et les Equations de Maxwell



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry,amsmath,graphicx,bbm,xcolor,theorem} \usepackage[tikz]{mdframed} \geometry{left= 15mm, paperheight= auto, landscape, paperwidth= auto, bottom= 2mm, left= 15mm, right= 15mm, top= 0} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\exterior}{\wedge} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmmathbf}[1]{\ensuremath{\boldsymbol{#1}}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\tmtextbf}[1]{{\bfseries{#1}}} \newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}} \newenvironment{itemizeminus}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$-$}\renewcommand{\labelitemii}{$-$}\renewcommand{\labelitemiii}{$-$}\renewcommand{\labelitemiv}{$-$}}{\end{itemize}} \mdfsetup{linecolor=black,linewidth=0.5pt,skipabove=0.5em,skipbelow=0.5em,hidealllines=true,-innerleftmargin=0pt,innerrightmargin=0pt,innertopmargin=0pt,innerbottommargin=0pt} {\theorembodyfont{\rmfamily}\newtheorem{note}{Note}} \newmdenv[bottomline=true,innerbottommargin=1ex]{tmunderlined} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \ \ \title{Calcul vectoriel} \maketitle \section{Vecteurs} \ \subsection{D{\'e}finition g{\'e}om{\'e}trique dans le plan} \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline {\noindent}{\color[HTML]{504000}\tmtextbf{Note . }}Nous raisonnerons ici dans un plan euclidien orthonorm{\'e}, c'est {\`a} dire dont les vecteurs formant le rep{\`e}re cart{\'e}sien $(0 ; \vec{i}, \vec{j})$ sont de module =1 et sont perpendiculaires. (autrement le th{\'e}or{\`e}me de Pythagore ne s'applique pas). Dans le cadre Relativit{\'e} G{\'e}n{\'e}rale ou de la Gravit{\'e} Quantique {\`a} Boucles, les choses ne sont pas aussi simples !{\hspace*{\fill}}{\medskip}\\ \hline \end{tabular} \ Dans le plan $\mathbbm{R}^2$ un vecteur est un op{\'e}rateur qui permet de passer d'un point A {\`a} un point B. Il peut donc {\^e}tre d{\'e}finit par ces trois {\'e}l{\'e}ments : \begin{itemizeminus} \item une direction {\`a} suivre \item un sens \item une longueur {\`a} parcourir (c'est le {\guillemotleft} module {\guillemotright} ou la {\guillemotleft} norme {\guillemotright} du vecteur) \end{itemizeminus} Dans le plan muni d'un rep{\`e}re orthonorm{\'e} $x 0 y$, on peut aussi le d{\'e}finir par deux composantes : \begin{itemizeminus} \item la distance {\`a} parcourir dans la direction $x$ (c'est la composante $x$, obtenue en tra{\c c}ant une droite parall{\`e}le {\`a} l'axe des $y$ et coupant l'axe des $y$). \item et la distance {\`a} parcourir dans le sens $y$ (c'est la composante $y$, obtenue en tra{\c c}ant une droite parall{\`e}le {\`a} l'axe des $x$ et coupant l'axe des $x$). \end{itemizeminus} Dans un rep{\`e}re orthonorm{\'e}, les axes sont \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{320px}{239px}{\includegraphics{001.jpg}} & Il est commode de repr{\'e}senter un vecteur par une fl{\`e}che dont la longueur repr{\'e}sente le module, orient{\'e}e dans la bonne direction. Mais attention : le vecteur, au contraire de la fl{\`e}che, n'a pas de position d{\'e}finie dans le plan (plus g{\'e}n{\'e}ralement dans l'espace). Dans ses constituants (module et direction, {\tmem{ou}} composantes\_x et composante\_y) rien n'indique un endroit particulier de l'espace. \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Dans le cas d'un vecteur consid{\'e}r{\'e} dans le cadre de la g{\'e}om{\'e}trie euclidienne, dans un plan orthonorm{\'e}, c'est un op{\'e}rateur (de translation) qui peut {\^e}tre appliqu{\'e} {\`a} n'importe quel point du plan pour aboutir un autre point (qui est, lui, situ{\'e} {\`a} une position pr{\'e}cise par rapport au premier). On peut ainsi tracer la fl{\`e}che entre ces deux points. On dit que le point B est l'image du point A par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$. & \resizebox{294px}{197px}{\includegraphics{002.jpg}} \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{307px}{278px}{\includegraphics{003.jpg}} & Mais le vecteur, lui, n'est pas attach{\'e} {\`a} ces positions. Par exemple sur la figure ci-contre, le vecteur qui translate A en B est exactement le m{\^e}me que celui qui translate C en D. Le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ se contente de dire {\guillemotleft} pour obtenir l'image d'un point, il faut se d{\'e}placer de deux pas {\`a} droite et d'un pas et demi vers le haut {\guillemotright} ou encore {\guillemotleft} se d{\'e}placer de telle distance dans telle direction et tel sens{\guillemotright}. C'est tout. On voit que les vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{C}\mathbf{D}}$ {\guillemotleft} disent {\guillemotright} la m{\^e}me chose. On {\'e}crira $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ =$\overrightarrow{\mathbf{C}\mathbf{D}}$. Et d{\`e}s lors, $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{C}\mathbf{D}}$ sont indiscernables sur le plan alg{\'e}brique, c'est le m{\^e}me vecteur. \end{tabular} \subsubsection{Notations} on {\'e}crira le vecteur $\vec{\mathbf{V}}$ de composantes $x$ et $y$ de plusieurs mani{\`e}res : $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right|$ (deux lettres repr{\'e}sentant deux points) ou $\vec{\mathbf{V}} \left|\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right|$ ou $\vec{\mathbf{V}} (x, y)$ ou bien encore $\vec{v}$ (une lettre en minuscule et pas toujours la lettre {\tmem{v}}). En fait on trouve un peu de tout suivant les auteurs, ce qui semble assez constant c'est la fl{\`e}che au dessus, (mais pas toujours, dans le cadre de l'alg{\`e}bre lin{\'e}aire des espaces vectoriels on n'utilise en principe pas la fl{\`e}che). \subsubsection{Vecteur nul} Le vecteur nul est not{\'e} $\vec{\tmmathbf{0}}$, il a comme composantes \ $\vec{\tmmathbf{0}} \left|\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right|$ remarque :\quad$\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{A}} = \vec{\tmmathbf{0}}$ C'est la translation de vecteur nul qui aboutit au point de d{\'e}part. \subsubsection{Vecteur oppos{\'e} :} Si le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ d{\'e}crit la translation du point A au point B, son oppos{\'e} est le vecteur qui d{\'e}crit la translation du point B au point A. On l'obtient en changeant le signe de chacune de ses composantes, c'est {\`a} dire en prenant l'oppos{\'e} alg{\'e}brique des composantes. On {\'e}crira $- \overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}} = \overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{A}}$ si on a : $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} \tmop{Ax}\\ \tmop{Ay} \end{array}\right|$ alors $- \overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}} = \overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} - \tmop{Ax}\\ - \tmop{Ay} \end{array}\right|$ {\scriptsize{Attention : Ne jamais dessiner la fl{\`e}che au dessus de la lettre dans l'autre sens (de la droite vers la gauche) sinon bonjour les erreurs de calculs !}} \ \begin{tmunderlined} \subsection{Op{\'e}rations de base dans le plan $\mathbbm{R}^2$} \end{tmunderlined} \subsubsection{Somme (addition) de deux vecteurs dans le plan} La somme de deux vecteurs a pour r{\'e}sultat un vecteur dont les composantes sont les sommes respectives des composantes des vecteurs. $\vec{i} \tmop{et} \vec{j}$ {\'e}tant les vecteurs unitaires de la base, nous avons : $\begin{array}{lll} \vec{\mathbf{A}} + \vec{\mathbf{B}} & = & (A_x + B_x) \vec{i} + (A_y + B_y) \vec{j} \end{array}$ \ \begin{tabular}{|l|} \hline $\vec{\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A_x\\ A_y \end{array}\right| + \vec{\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} B_x\\ B_y \end{array}\right| = \vec{\mathbf{C}} \left|\begin{array}{c} A_x + B_x\\ A_y + B_y \end{array}\right|$\\ \hline \end{tabular} \ Voyons {\c c}a de plus pr{\`e}s : \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} On peut se d{\'e}placer dans le plan en allant de A {\`a} B, puis une fois en B aller en C. Ces deux d{\'e}placements peuvent {\^e}tres d{\'e}finis par deux vecteurs, le premier pr{\'e}cisant la marche {\`a} suivre pour se rendre de A en B, et le second pour se rendre de B en C. En fin de course nous sommes all{\'e}s de A en C. On peut donc utiliser un troisi{\`e}me vecteur \ $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{C}}$ d{\'e}crivant la marche {\`a} suivre pour aller de A en C. Certes le trajet n'est pas le m{\^e}me, mais le d{\'e}placement total est le m{\^e}me, {\guillemotleft} se rendre de A en C{\guillemotright}. Nous dirons que le d{\'e}placement total est la somme des deux d{\'e}placements, et donc que le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{C}}$ est la somme des vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{C}}$. & \resizebox{260px}{169px}{\includegraphics{latex-1.eps}} \ \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Nous pouvons {\'e}crire : $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{C}}$=$\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$+$\overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{C}}$ C'est la relation de Chasles. Remarquons la lettre commune (B) au milieu, qu'il suffit de supprimer pour obtenir la somme. & \resizebox{255px}{173px}{\includegraphics{latex-2.eps}} \end{tabular} \ Dans le cas de translations de points dans le plan, les composantes du vecteur doivent {\^e}tre au nombre de deux, permettant de pr{\'e}ciser un d{\'e}placement suivant l'axe des $x$ et un d{\'e}placement suivant l'axe des $y$, ou bien une distance {\`a} parcourir et une direction. Donc deux quantit{\'e}s concernant un m{\^e}me ph{\'e}nom{\`e}ne. Il vient donc naturellement {\`a} l'id{\'e}e qu'un vecteur pourrait alors repr{\'e}senter autre chose qu'une translation, quelque chose poss{\'e}dant {\'e}galement deux composantes. Et c'est le cas de... beaucoup de choses en physique. C'est le cas par exemple d'une vitesse (d{\'e}riv{\'e}e d'une distance / temps) qui poss{\`e}de (dans le cas d'un d{\'e}placement sur un plan) : \begin{itemizeminus} \item une composante suivant l'axe des $x$ \item une composante suivant l'axe des $y$ \end{itemizeminus} et qui peut aussi {\^e}tre d{\'e}crite par : \begin{itemizeminus} \item un module (le nombre de m{\`e}tres par seconde) \item une direction (angle + un sens) \end{itemizeminus} \subsubsection{Somme d'un vecteur et de son vecteur oppos{\'e}} La somme d'un vecteur et de son vecteur oppos{\'e} donne le vecteur nul: $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ + ($- \overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ ) = $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$+$\overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{A}}$=$\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{A}} = \vec{\tmmathbf{0}}$ en composantes : $\vec{\mathbf{V}} (x, y) + (- \vec{\mathbf{V}} (- x, - y)) = \vec{\mathbf{S}} (x + (- x), y + (- y)) = \vec{\mathbf{S}} (x - x, y - y) = \vec{\tmmathbf{0}} (0, 0)$ \subsubsection{Diff{\'e}rence de deux vecteurs} Pour obtenir la diff{\'e}rence de deux vecteurs il suffit de faire la somme du premier par le vecteur oppos{\'e} du second : $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ - $\overrightarrow{\mathbf{C}\mathbf{D}} = \overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}} + (- \overrightarrow{\mathbf{C}\mathbf{D}}) = \overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{D}\mathbf{C}}$ en composantes cela revient {\`a} faire les soustractions respectives des composantes en $x$ et en $y$ : \begin{tabular}{|l|} \hline $\vec{\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A_x\\ A_y \end{array}\right| - \vec{\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} B_x\\ B_y \end{array}\right| = \vec{\mathbf{C}} \left|\begin{array}{c} A_x - B_x\\ A_y - B_y \end{array}\right|$\\ \hline \end{tabular} \ \left[$A_x \vec{i} + A_y \vec{j}$ \right]$- [B_x \vec{i} + B_y \vec{j}]$=$(A_x - B_x) _{} \vec{i} + (A_y - B_y) \vec{j}$ \subsubsection{Multiplication par un scalaire} c'est {\`a} dire par un nombre r{\'e}el {\guillemotleft} ordinaire {\guillemotright} qui n'est donc pas un vecteur : $\lambda \overrightarrow{.v} \left|\begin{array}{c} _x\\ _y \end{array}\right| = \vec{w} \left|\begin{array}{c} \lambda x_{}\\ \lambda y_{} \end{array}\right|$ (en utilisant des petites lettres pour changer un peu et s'habituer...) \ $\lambda [x \vec{i} + y \vec{j}] \begin{array}{ll} = & \lambda x \vec{i} + \lambda y \vec{j} \end{array}$ \subsubsection{Somme de deux vitesses} Nous choisissons cet exemple de la vitesse parce qu'il est proche du pr{\'e}c{\'e}dent, tout en permettant de pr{\'e}ciser certaines choses concernant les vecteurs. Nous verrons par la suite des exemples bien plus d{\'e}concertants comme une amplitude et une phase, ou des nombres complexes. Prenons l'exemple d'un planeur : en air calme sans ascendances ni turbulences et sans toucher aux commandes de vol (vol stabilis{\'e}), il se d{\'e}place avec une vitesse constante tout en perdant peu {\`a} peu de l'altitude (ce qui lui procure l'{\'e}nergie pour continuer {\`a} planer). Sa vitesse peut se d{\'e}composer comme suit : \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \begin{itemizeminus} \item une composante verticale dirig{\'e}e vers le bas, de faible valeur (si tout va bien...) \item une composante horizontale qui repr{\'e}sente son d{\'e}placement par rapport au sol. \end{itemizeminus} & \resizebox{306px}{171px}{\includegraphics{006.jpg}} \end{tabular} \ Je ne vous cacherai pas que le quotient des deux s'appelle la {\guillemotleft} finesse {\guillemotright}, mais peu importe. La vitesse de son d{\'e}placement dans l'air est {\'e}gale {\`a} la somme de ces deux composantes. Pareillement {\`a} ce que nous avons vu tout {\`a} l'heure dans le cas des translations ? Pas tout {\`a} fait. Car pour calculer la somme des deux vecteurs dans le cas de la translation, nous les avions mis bout {\`a} bout. Mais cette fois ces deux composantes semblent concerner le m{\^e}me point. \ Comment faire leur somme ? Calculons en distances parcourues en un temps donn{\'e}. Par exemple au bout d'une minute le planeur aura parcouru une distance horizontale {\'e}gale {\`a} sa vitesse horizontale $\times$ par 1 minute. (vitesse = distance / temps, donc distance = vitesse $\times$ temps). Il aura aussi parcouru une distance verticale {\'e}gale {\`a} sa vitesse verticale $\times$ 1 minute. \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Ces deux distances sont proportionnelles aux vitesses correspondantes, elle peuvent {\^e}tre repr{\'e}sent{\'e}es par des vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{C}}$ dont les modules sont proportionnels aux modules des vecteurs repr{\'e}sentant les vitesses. Et comme il s'agit maintenant de d{\'e}placements... on peut les dessiner bout {\`a} bout afin d'obtenir le d{\'e}placement total, qui peut {\^e}tre donc repr{\'e}sent{\'e} par le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{C}}$. Et puisque cette distance totale a {\'e}t{\'e} parcourue elle aussi pendant une minute, nous en d{\'e}duisons que la vitesse totale est proportionnelle au module du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{C}}$. & \resizebox{328px}{156px}{\includegraphics{008.jpg}} \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Cet exemple nous montre que l'endroit o{\`u} l'on dessine un vecteur n'a pas vraiment d'importance, ce dernier dessin avec les vecteurs mis bout {\`a} bout est {\'e}quivalent {\`a} celui-ci : & \resizebox{344px}{151px}{\includegraphics{007.jpg}} \end{tabular} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{377px}{246px}{\includegraphics{009.jpg}} & D'une mani{\`e}re g{\'e}n{\'e}rale, lorsqu'on veut additionner {\guillemotleft} graphiquement {\guillemotright} deux vecteurs, on peut les disposer de plusieurs fa{\c c}ons. Soit par exemple {\`a} additionner le vecteur rouge et le vecteur vert : \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{341px}{241px}{\includegraphics{010.jpg}} & on peut placer le vert {\`a} l'extr{\'e}mit{\'e} du rouge (le jaune {\'e}tant la somme des deux) \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{308px}{231px}{\includegraphics{011.jpg}} & ou bien placer le rouge {\`a} l'extr{\'e}mit{\'e} du vert (regardez bien le jaune : c'est le m{\^e}me que celui de la figure pr{\'e}c{\'e}dente, ce qui montre que l'ordre dans lequel on effectue les translations n'a pas d'importance) \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{379px}{240px}{\includegraphics{012.jpg}} & ou bien encore tracer le {\guillemotleft} parall{\'e}logramme des vecteurs {\guillemotright} ce qui revient {\`a} tracer les deux figures pr{\'e}c{\'e}dentes {\`a} la fois. Dans le cas des translations, cette repr{\'e}sentation est moins intuitive (nous avons l'habitude de n'emprunter qu'un chemin {\`a} la fois), mais dans le cas des vitesses qui sont effectives simultan{\'e}ment, le dernier trac{\'e} est plus parlant. \end{tabular} Il s'agit de trois fois la m{\^e}me chose, les vecteurs ne {\guillemotleft} codent {\guillemotright} pas pour une position. Un autre exemple devrait maintenant nous en convaincre. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Consid{\'e}rons un train qui approche d'un passage {\`a} niveau (ouvert parce que le train est encore un peu loin). Sur la route qui coupe la voie ferr{\'e}e au passage {\`a} niveau vient de passer une voiture avec une vitesse par rapport au sol bien diff{\'e}rente en module et en direction {\`a} celle du train. Tout ceci dans un m{\^e}me plan (d'o{\`u} cette image du passage {\`a} niveau plut{\^o}t que d'un pont pour d{\'e}crire des trajectoires s{\'e}quentes. Restons dans un plan). Soit {\`a} calculer la vitesse de la voiture par rapport au train. C'est la diff{\'e}rence vectorielle des vitesses. \ Nous savons maintenant le faire. \ & \resizebox{234px}{329px}{\includegraphics{013.jpg}} \end{tabular} Mais ce qui est int{\'e}ressant c'est de remarquer que nous allons effectuer la diff{\'e}rence de deux vecteurs qui ne sont pas {\guillemotleft} reli{\'e}s {\guillemotright} au m{\^e}me objet, ni au m{\^e}me endroit de l'espace. Et pourtant nous pouvons les dessiner ayant la m{\^e}me origine pour en faire la diff{\'e}rence. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Voici donc le dessin obtenu. On voit que dans ce cas de figure le module obtenu est un peu plus grand que celui de chacune des vitesses. Comme nous avions vu d{\`e}s le d{\'e}part que tous les vecteurs parall{\`e}les et de m{\^e}me modules {\'e}taient {\'e}quivalents, indiscernables, il nous a suffit de consid{\'e}rer en permanence deux vecteurs dessin{\'e}s comme ayant m{\^e}me origine, chacun d'eux {\'e}tant {\`a} tout instant {\'e}quivalent {\`a} ceux qu'on attribuaient au train ou {\`a} la voiture. & \resizebox{230px}{318px}{\includegraphics{014.jpg}} \end{tabular} \ En conclusion le fait que les vecteurs n'aient pas de position d{\'e}finie dans l'espace leur donne une grande puissance de calcul, ou du moins cela permet de simplifier grandement les calculs. Et partant cela ouvre la porte {\`a} une utilisation dans des domaines plus abstraits comme par exemple l'amplitude et la phase d'un signal (temporel ou spatial, ou un peu des deux dans le cas des ondes qui {\'e}voluent dans l'espace et dans le temps). \subsubsection{Norme (ou module) du vecteur} La norme du vecteur est la distance s{\'e}parant les points A et B lorsque le point B est l'image du point A par la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ . En clair c'est la longueur de la fl{\`e}che. On la note \left\|$\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ \right\| Comment la calculer {\`a} partir des composantes en x et y ? {\tiny{{\noindent}{\color[HTML]{504000}\tmtextbf{Note . }}Nous raisonnerons ici dans un plan euclidien orthonorm{\'e}, c'est {\`a} dire dont les vecteurs formant le rep{\`e}re $(0 ; \vec{i}, \vec{j})$ sont de module =1 et sont orthogonaux. (autrement le th{\'e}or{\`e}me de Pythagore ne s'applique pas).{\hspace*{\fill}}{\medskip}}} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} Soit le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ de composantes $A_x$ et $A_y$ Le rep{\`e}re {\'e}tant orthonorm{\'e}, l'ensemble de la figure est un rectangle, donc nous pouvons {\'e}crire, concernant les longueurs du c{\^o}t{\'e} xB : $\tmop{xB} = A_y $ \ & \resizebox{266px}{323px}{\includegraphics{015.jpg}} \end{tabular} De plus nous avons un (m{\^e}me deux, mais un suffira) triangle rectangle AxB dont l'hypot{\'e}nuse est AB. Le th{\'e}or{\`e}me de Pythagore s'applique donc : $\tmop{AB}^2 = A^{}_x^2 + \tmop{xB}^2$ (dans le triangle AxB) en rempla{\c c}ant yB et xB par leurs valeurs vues plus haut, nous obtenons : $\tmop{AB}^2 = A^{}_x^2 + A^{}_y^2$ donc : $\| \overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}} \| = \tmop{AB}^{} = \sqrt{A^{}_x^2 + A^{}_y^2}$ on utilisera aussi cette forme : $\| \overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}} \|^2 = A^{}_x^2 + A^{}_y^2$ \subsubsection{Expression des composantes en fonction du module et de l'angle} \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \ soit le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{M}} \left|\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right|$ Tra{\c c}ons le vecteur dans un cercle trigonom{\'e}trique ayant pour rayon le module OM , et appelons $\alpha$ l'angle entre la direction du vecteur et l'axe des x. Les composantes s'expriment alors ainsi : & \resizebox{252px}{259px}{\includegraphics{017.jpg}} \end{tabular} $x = \tmop{OM} \cos \alpha$ $y = \tmop{OM} \sin \alpha$ $\frac{y}{x} = \frac{\tmop{OM} \sin \alpha}{\tmop{OM} \cos \alpha} = \tmop{tg} \alpha$\quad -> $\alpha = \tmop{arctg} \left( \frac{y}{x} \right)$ Remarque : $x^2 + y^2 = M^2 \cos^2 \alpha + M^2 \sin^2 \alpha = M^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$ et comme : $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ $x^2 + y^2 = M^2 = \| \overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{M}} \|^2$ Nous retrouvons ainsi le r{\'e}sultat pr{\'e}c{\'e}dent. \subsubsection{Produit scalaire dans $\mathbbm{R}^2$} Le produit scalaire de deux vecteurs a pour r{\'e}sultat {\tmstrong{{\tmem{un scalaire}}}} (un nombre, pas un vecteur): On le note par un point (et pas par le signe $\times$ qui est utilis{\'e} pour le {\tmem{produit vectoriel}}) \begin{eqnarray*} \vec{\mathbf{A}} \cdot \vec{\mathbf{B}} & = & A_x B_x + A_y B_y \end{eqnarray*} $(A_x \vec{i} + A_y \vec{j}) \cdot (B_x \vec{i} + B_y \vec{j}) = A_x B_x + A_y B_y $ \begin{tabular}{|l|} \hline $\vec{\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A_x\\ A_y \end{array}\right| \cdot \vec{\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} B_x\\ B_y \end{array}\right| = A_x B_x + A_y B_y$\\ \hline \end{tabular} \ \ {\color[HTML]{008000}{\tmstrong{Question :}}} Quand le produit scalaire dans $\mathbbm{R}^2$ est-il nul (si $\vec{\mathbf{A}} \tmop{et} \vec{\mathbf{B}}$ ne sont pas nuls) ? Si on fait le calcul direct avec des composantes quelconques, les choses ne sont pas simples, mais... {\tmstrong{Astuce :}} On a vu que les propri{\'e}t{\'e}s des vecteurs ne d{\'e}pendent pas de l'endroit o{\`u} on les dessine puisque cet endroit est totalement arbitraire. Ce qui signifie qu'on peut les dessiner o{\`u} cela nous arrange, en particulier par rapport aux axes du rep{\`e}re du plan. Ou dit autrement on peut placer les axes o{\`u} l'on veut, et orient{\'e}s comme on veut. Il en va de m{\^e}me pour le calcul du produit scalaire qui ne d{\'e}pend pas du choix des axes de r{\'e}f{\'e}rence mais uniquement des propri{\'e}t{\'e}s {\tmem{relatives}} des composantes des deux vecteurs. \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} D'o{\`u} l'id{\'e}e de choisir de dessiner un des vecteurs sur l'axe des $x$ pour simplifier les calculs. Tra{\c c}ons le cercle (trigonom{\'e}trique) Projetons le second vecteur $\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{B}}$ sur les axes. \ & \resizebox{305px}{272px}{\includegraphics{018.jpg}} \end{tabular} Appelons $A$ le module de $\overrightarrow{\tmop{OA}}$ (pour all{\'e}ger l'{\'e}criture) $A = \| \overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{A}} \|$ Appelons $B$ le module de $\overrightarrow{\tmop{OB}}$\qquad$B = \| \overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{B}} \|$ Les composantes des vecteurs deviennent : $\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A\\ 0 \end{array}\right|$ $\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} B \cos \alpha\\ B \sin \alpha \end{array}\right|$\quad avec $\alpha$ l'angle relatif entre les deux vecteurs (qu'on a pris soin de conserver) donc nous avons : $A_x = A$ $A_y = 0$ $B_x = B \cos \alpha$ $B_y = B \sin \alpha$ R{\'e}-{\'e}crivons notre produit scalaire : \begin{eqnarray*} \vec{\mathbf{A}} \cdot \vec{\mathbf{B}} & = & A_x B_x + A_y B_y\\ \vec{\mathbf{A}} \cdot \vec{\mathbf{B}} & = & A \times B \cos \alpha + 0 \times B \sin \alpha\\ & = & A B \cos \alpha \end{eqnarray*} On voit que ce produit scalaire s'annule pour $\cos \alpha = 0$ c'est {\`a} dire pour $\alpha = \frac{\pi}{2}$ ou $\alpha = - \frac{\pi}{2}$ Autrement dit : \begin{tabular}{|c|} \hline {\tmstrong{Le produit scalaire est nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux.}}\\ \hline \end{tabular} Ce r{\'e}sultat peut {\^e}tre utilis{\'e} pour d{\'e}montrer l'othogonalit{\'e} de deux vecteurs dans un espace vectoriel d{\'e}j{\`a} muni d'une base orthonorm{\'e}e. Retenons aussi que le produit scalaire a pour valeur : \begin{eqnarray*} \vec{\mathbf{A}} \cdot \vec{\mathbf{B}} & = & \| \vec{\mathbf{A}} \| \| \vec{\mathbf{B}} \| \cos a \end{eqnarray*} Remarque : le premier point d{\'e}signe le produit scalaire, les deux autres d{\'e}signent le produit {\guillemotleft} ordinaire {\guillemotright} dans $\mathbbm{R}$. \ {\normalsize{{\tmstrong{ATTENTION :}} ce r{\'e}sultat n'est valable que dans un plan affine euclidien orthonorm{\'e}, c'est {\`a} dire dont les vecteurs formant le rep{\`e}re $(0 ; \vec{i}, \vec{j})$ sont de module =1 et sont orthogonaux. (autrement le th{\'e}or{\`e}me de Pythagore ne s'applique pas).}} Remarque : Dans certains livres de math, dans la d{\'e}finition d'un rep{\`e}re orthonorm{\'e} il est dit : {\scriptsize{$\vec{i}$ et \overrightarrow{$j$} sont norm{\'e}s $\| \vec{i} \| = \| \vec{j} \| = 1$}} {\scriptsize{$\vec{i}$ et \overrightarrow{$j$} sont orthogonaux $\vec{i} . \vec{j} = 0$}} Ce qui me semble tautologique : Le fait de se servir de la nullit{\'e} du produit scalaire des vecteurs de la base (seconde ligne -> $\vec{i} . \vec{j} = 0$) pour d{\'e}montrer ensuite que le produit scalaire de deux vecteur est nul... Il convient donc de d{\'e}finir autrement l'orthogonalit{\'e} des vecteurs unitaires de la base, par exemple comme ceci \ : deux droites s{\'e}quentes sont orthogonales lorsqu'elles forment un angle droit. Bien. Heu... C'est quoi un angle droit ? En voici une d{\'e}finition qui ne fait {\tmstrong{pas}} appel ({\`a} premi{\`e}re vue) au produit scalaire ni {\`a} une quelconque {\guillemotleft} forme bilin{\'e}aire {\guillemotright} qui cache la m{\^e}me chose : {\tmem{Dans le plan euclidien, deux droites s{\'e}cantes d{\'e}finissent quatre angles deux {\`a} deux {\'e}gaux. Lorsque ces quatre angles sont tous {\'e}gaux, chacun forme un angle droit. Les droites sont alors dites perpendiculaires}}. Mais si on cherche la petite b{\^e}te on pourrait se demander {\guillemotleft} comment mesure-t-on un angle {\guillemotright} et quel serait le r{\'e}sultat de cette mesure dans chacun des 4 quadrants d'un rep{\`e}re non-orthonorm{\'e} ? Je veux dire par l{\`a} que lorsqu'on parle des 4 angles {\'e}gaux, on se r{\'e}f{\`e}re {\tmem{implicitement}} {\`a} un rep{\`e}re orthonorm{\'e} {\tmem{par dessus lequel}} on trace notre figure avec les deux droites ! D'ailleurs les premiers mots de l'{\'e}nonc{\'e} {\guillemotleft} {\tmem{Dans le plan euclidien}} {\guillemotright} auraient d{\^u} nous alerter : En effet dans la d{\'e}finition du plan euclidien on trouve... le produit scalaire (!) et la notion d'orthogonalit{\'e} (si le produit scalaire de deux vecteurs est nul(!!) Je propose tout autre chose, avec une r{\`e}gle et un compas: Consid{\'e}rons 4 points du plan {\'e}quidistants les uns des autres(obtenus en tra{\c c}ant des cercles). Tra{\c c}ons un quadrilat{\`e}re sur ces 4 points, on obtient un losange (oui un losange, pas forc{\'e}ment un carr{\'e} qui est une esp{\`e}ce particuli{\`e}re de losange ayant un angle droit, on ne sait pas encore ce qu'est un angle droit, on veut le d{\'e}finir). Tra{\c c}ons les deux diagonales de ce losange : elle se coupent {\`a} angle droit. Voil{\`a} on a notre angle droit. Les droites perpendiculaires obtenues offrent une sym{\'e}trie bien particuli{\`e}re (chacune des 4 demi-droites est sym{\'e}trique de son autre moiti{\'e} par rapport {\`a} l'autre droite). Voici la proc{\'e}dure d{\'e}taill{\'e}e, en images. (Remarque : tout {\'e}colier conna{\^i}t cette m{\'e}thode - Quant au fond quadrill{\'e} et gradu{\'e}, il est fait par mon logiciel de dessin, on l'oublie, il n'existe pas ! Au d{\'e}part on prend une feuille blanche, une r{\`e}gle, un compas, et c'est tout). \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{485px}{397px}{\includegraphics{latex-3.eps}} & \resizebox{482px}{394px}{\includegraphics{latex-4.eps}}\\ 1) pla{\c c}ons 2 points sur le plan & 2) tra{\c c}ons 1 cercle centr{\'e} sur l'un d'eux \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}} \resizebox{484px}{395px}{\includegraphics{latex-5.eps}} & \resizebox{484px}{396px}{\includegraphics{latex-6.eps}}\\ 3) puis un $2^{\tmop{eme}}$ cercle de m{\^e}me rayon sur l'autre & 4) ils se coupent en 2 autres points \end{tabular} \ \begin{tabular}{p{6.0cm}p{6.0cm}l} \resizebox{485px}{397px}{\includegraphics{latex-7.eps}} & \resizebox{485px}{397px}{\includegraphics{latex-8.eps}} & \\ 5) tra{\c c}ons 1 droite passant par les centres & 6) puis une $2^{\tmop{eme}}$ droite passant par les intersections & \end{tabular} \ A partir de l{\`a}, au compas, nous pouvons tracer les vecteurs unitaires, de modules {\'e}gaux, de notre base orthonorm{\'e}e. Et hop on peut continuer. D{\'e}finir le produit scalaire et tout ce qui s'ensuit. On a juste suppos{\'e} : -que le plan est bien {\guillemotleft} plat {\guillemotright} -que le compas ne se d{\'e}forme pas lorsqu'on mesure des distances dans des directions diff{\'e}rentes. -que la r{\`e}gle est bien droite, et qu'on sait donc d{\'e}finir ce qu'est une ligne droite en l'absence de rep{\`e}re (le trajet d'un rayon de lumi{\`e}re ? aie ! loin de toute masse alors) -que la notion de distance a bien un sens dans un plan qui n'est pas encore muni de rep{\`e}re (le temps mis par la lumi{\`e}re pour parcourir cette distance ?) -que par deux points il ne passe qu'une seule droite... Sachons qu'il existe effectivement des g{\'e}om{\'e}tries s'appliquant {\`a} des espaces non euclidiens (g{\'e}om{\'e}trie Riemannienne)\tmtextbf{}, que traite la relativit{\'e} g{\'e}n{\'e}rale, et qui concernent la topologie de l'espace en pr{\'e}sence de masses. \ \subsubsection{Quelques propri{\'e}t{\'e}s fondamentales des op{\'e}rations vues plus haut} Elles nous permettrons de d{\'e}finir les {\tmem{Espaces vectoriels}} Toutes ces propri{\'e}t{\'e}s peuvent {\^e}tre d{\'e}montr{\'e}es sans difficult{\'e} en faisant les calculs sur les composantes des vecteurs. - {\tmstrong{associativit{\'e}}} de l'addition vectorielle ( elle d{\'e}coule directement de l'associativit{\'e} de l'addition dans $\mathbbm{R}$): $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ - {\tmstrong{commutativit{\'e}}} de l'addition ( elle d{\'e}coule directement de la commutativit{\'e} de l'addition dans $\mathbbm{R}$): $(\vec{u} + \vec{v}) = (\vec{v} + \vec{u})$ - {\tmstrong{{\'e}l{\'e}ment neutre}} pour l'addition : c'est le vecteur nul. $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ - {\tmstrong{{\'e}l{\'e}ment oppos{\'e}}} pour l'addition : $\vec{u} + (- \vec{u}) = \vec{0}$ - {\tmstrong{distributivit{\'e} de la multiplication}} {\tmstrong{par un scalaire}} par rapport {\`a} l'addition vectorielle : $\lambda (\vec{u} + \vec{v}) = \lambda \vec{u} + \lambda \vec{v}$ \ \begin{tmunderlined} \subsection{Vecteurs dans l'espace $\mathbbm{R}^3$} \end{tmunderlined} {\tiny{\begin{note} Nous raisonnerons ici dans un espace euclidien orthonorm{\'e}, c'est {\`a} dire dont les vecteurs formant le rep{\`e}re cart{\'e}sien $(0 ; \vec{i}, \overrightarrow{j,} \vec{k})$ sont de module =1 et sont orthogonaux. (autrement le th{\'e}or{\`e}me de Pythagore ne s'applique pas). \end{note}}} \ Ainsi en g{\'e}om{\'e}trie, nous consid{\'e}rerons le vecteur $\vec{\mathbf{A}}$ de composantes $A_x, A_y, A_z$ \ dans l'espace vectoriel $\mathbbm{R}^3$ de base orthonorm{\'e}e : on notera : $\vec{\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A x\\ A y\\ A z \end{array}\right|$ \ soit $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ les vecteurs constituant la base orthonorm{\'e}e (ils sont donc non coplanaires, leur module est {\'e}gal {\`a} 1, ils sont orthogonaux deux {\`a} deux) Nous pouvons {\'e}crire : $\vec{\mathbf{A}} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k}$ \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline Remarque {\`a} propos des termes {\guillemotleft} orthogonal {\guillemotright} et {\guillemotleft} perpendiculaire {\guillemotright}: ce n'est pas la m{\^e}me chose. En 3D, par un point donn{\'e} ext{\'e}rieur {\`a} une droite il passe une seule perpendiculaire {\`a} cette droite passant par ce point. Il existe par contre une infinit{\'e} de droites orthogonales qui ne sont pas forc{\'e}ment perpendiculaires entre elles (exemple : les diff{\'e}rentes ar{\^e}tes du cubes qui ne sont pas s{\'e}quentes). On r{\'e}servera en g{\'e}n{\'e}ral le terme {\guillemotleft} perpendiculaire {\guillemotright} pour les droites du plan $\mathbbm{R}^2$.\\ \hline \end{tabular} \ Nous serons par la suite amen{\'e}s {\`a} manipuler des vecteurs dans des espaces vectoriels dont le module des vecteurs unitaires de la base ne repr{\'e}senteront pas des distances ou des vitesses, mais des acc{\'e}l{\'e}rations, des champs {\'e}lectriques ou magn{\'e}tiques, ou des signaux sinuso{\"i}daux (qui comportent une amplitude et une phase ou une amplitude et une fr{\'e}quence...), des nombres complexes, voire l'espace des solutions d'{\'e}quations diff{\'e}rentielles, puis {\`a} consid{\'e}rer des espaces vectoriels de dimensions sup{\'e}rieures ou inf{\'e}rieures {\`a} 3. (Un espace vectoriel de dimension 1 est une droite vectorielle, un espace vectoriel de dimension 2 un plan vectoriel). Tant que l'espace vectoriel ne comporte pas plus de trois dimensions, il est simple d'en visualiser les vecteurs sous forme d'un trac{\'e} g{\'e}om{\'e}trique ou d'une image en relief st{\'e}r{\'e}oscopique (g{\'e}n{\'e}r{\'e}e par exemple par un ordinateur), au del{\`a} {\c c}a se complique. Il faudra se contenter d'effectuer des calculs sur les composantes, avec par exemple des matrices. Mais un ordinateur fait {\c c}{\`a} tr{\`e}s bien. Les objets quantiques et donc la nature aussi du reste ! Voici un exemple de vue st{\'e}r{\'e}oscopique g{\'e}n{\'e}r{\'e}e par un petit programme que j'ai {\'e}crit en C++ et Qt4 : \begin{tabular}{|p{6.0cm}|p{6.0cm}|} \hline {\`a} regarder en louchant {\guillemotright} & \resizebox{776px}{347px}{\includegraphics{019.jpg}}\\ \hline \end{tabular} \section{Op{\'e}rations de base dans l'espace $\mathbbm{R}^3$} \subsection{Addition de vecteurs dans l'espace} \ \begin{tabular}{|l|} \hline $\vec{\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A_x\\ A_y\\ A_z \end{array}\right| + \vec{\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} B_x\\ B_y\\ B_z \end{array}\right| = \vec{\mathbf{C}} \left|\begin{array}{c} A_x + B_x\\ A_y + B_y\\ A_z + B_z \end{array}\right|$\\ \hline \end{tabular} \subsection{Produit scalaire} Le produit scalaire de deux vecteurs a pour r{\'e}sultat {\tmstrong{{\tmem{un scalaire}}}} (un nombre, pas un vecteur): \begin{eqnarray*} \vec{\mathbf{A}} \cdot \vec{\mathbf{B}} & = & A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \end{eqnarray*} $(A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k}) \cdot (B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k}) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$ \begin{tabular}{|l|} \hline $\mathbf{A} \left|\begin{array}{c} A_x\\ A_y\\ A_z \end{array}\right| \cdot \mathbf{B} \left|\begin{array}{c} B_x\\ B_y\\ B_z \end{array}\right| = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$\\ \hline \end{tabular} \ \ En ce qui concerne le vecteur nul, le vecteur oppos{\'e}, et la multiplication par un scalaire, voir plus haut leurs {\'e}quivalent pour les vecteurs dans le plan $\mathbbm{R}^2$. Nous allons maintenant d{\'e}crire une op{\'e}ration (le produit vectoriel) qui n'a pas d'{\'e}quivalent dans le plan $\mathbbm{R}^2$ : \subsection{Produit vectoriel dans l'espace $\mathbbm{R}^3$} \subsubsection{D{\'e}finition} Le produit vectoriel de deux vecteurs, d{\'e}fini dans l'espace $\mathbbm{R}^3$, a pour r{\'e}sultat {\tmem{{\tmstrong{un vecteur}}}} : \begin{eqnarray*} \vec{\mathbf{A}} \times \vec{\mathbf{B}} & = & \vec{\mathbf{C}} \end{eqnarray*} \begin{tabular}{|l|} \hline On note aussi (en France) $\vec{\mathbf{A}} \wedge \vec{\mathbf{B}}$\\ \hline \end{tabular} \ ayant pour composantes : \begin{eqnarray*} C_x & = & A_y B_z - A_z B_y\\ C_y & = & A_z B_x - A_x B_z\\ C_z & = & A_x B_y - A_y B_x \end{eqnarray*} $(A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k}) \wedge (B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k}) = (A_y B_z - A_z B_y) \vec{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \vec{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \vec{k}$ \ \begin{tabular}{|l|} \hline $\vec{\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A_x\\ A_y\\ A_z \end{array}\right| \exterior \vec{\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} B_x\\ B_y\\ B_z \end{array}\right| = \vec{\mathbf{C}} \left|\begin{array}{c} A_y B_z - A_z B_y\\ A_z B_x - A_x B_z\\ A_x B_y - A_y B_x \end{array}\right|$\\ \hline \end{tabular} \ Ce vecteur r{\'e}sultat du produit vectoriel est {\tmstrong{orthogonal {\`a} chacun des vecteurs}} de d{\'e}part. {\tmstrong{Remarque :}} dans le cube repr{\'e}sent{\'e} plus haut en 3D figurent trois petits segments : Le jaune repr{\'e}sente le vecteur issu du produit vectoriel du rouge par le vert (tous de module unit{\'e} dans cet exemple). {\noindent}{\color[HTML]{504000}\tmtextbf{Note . }}Le pr{\scriptsize{}}oduit vectoriel n'est pas d{\'e}fini dans un espace de dimension 2 (plan). Certes il s'op{\`e}re entre deux vecteurs coplanaires, mais le r{\'e}sultat s'exprime dans la troisi{\`e}me dimension, perpendiculaire au plan des vecteurs.{\hspace*{\fill}}{\medskip} \subsubsection{Expression du produit vectoriel en fonction du module et de l'angle :} \ \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline Remarque1 : concernant deux vecteurs : Soit trois points quelconques A,B,C dans l'espace $\mathbbm{R}^3$. Ils d{\'e}finissent un plan, ils sont donc forc{\'e}ment coplanaires (ce plan n'est {\`a} priori pas parall{\`e}le {\`a} $x 0 y$ ni {\`a} $x 0 z$ ni {\`a} $y 0 z$). Pla{\c c}ons l'origine en un des points, par exemple en C. Nous avons donc les points 0, A, et B Les points 0 et A permettent de d{\'e}finir un vecteur $\vec{\mathbf{A}}$ dont l'origine serait en 0 et l'extr{\'e}mit{\'e} en A, orient{\'e} de 0 vers A et de module {\'e}gal {\`a} la distance OA. Les points 0 et B d{\'e}finissent un autre vecteur $\vec{\mathbf{B}}$ dont l'origine serait en 0 et l'extr{\'e}mit{\'e} en B, situ{\'e} dans le m{\^e}me plan que $\vec{\mathbf{A}}$ puisque les trois points 0,A,B sont toujours coplanaires. \ Donc deux vecteurs trac{\'e}s avec la m{\^e}me origine sont toujours coplanaires. Remarque2 : comme nous l'avons vu plus haut un vecteur n'est pas li{\'e} {\`a} un point, il n'est d{\'e}fini que par ses composantes ou par son module et son orientation. En cons{\'e}quence deux vecteurs de l'espace $\mathbbm{R}^3$ peuvent toujours {\^e}tre repr{\'e}sent{\'e}s avec des fl{\`e}ches ayant une origine commune.\\ \hline \end{tabular} \ On d{\'e}finit parfois le produit vectoriel comme {\'e}tant le vecteur orthogonal au plan form{\'e} par les deux vecteurs consid{\'e}r{\'e}s (et orient{\'e} dans le sens direct*) et dont le module est {\'e}gal au produit des modules et de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$: $\| \vec{w} \| = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \sin (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$ \begin{tabular}{|p{12.0cm}|} \hline (*) [Wikipedia:] Par convention le sens direct correspondant au vissage d'une vis ou d'un tire-bouchon. La base $(\overrightarrow{i}, \vec{j}, \vec{k})$ \ est dite directe si, en tournant de \overrightarrow{$i$} vers \overrightarrow{$j$} avec un angle positif, la vis ou le tire-bouchon parcourt l'axe donn{\'e} par $\vec{k}$ \ dans le sens croissant.\\ \hline \end{tabular} \ Montrons l'{\'e}quivalence avec la d{\'e}finition par les composantes : Tra{\c c}ons les vecteurs dans leur plan commun vu ci-dessus et orientons le rep{\`e}re sur ce plan et l'un des vecteurs : Dans ce syst{\`e}me de coordonn{\'e}es les composantes deviennent : \ $\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A\\ 0\\ 0 \end{array}\right|$ (Le module de $\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{A}} $est {\`a} l'{\'e}vidence $| A |$) \ $\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} B \cos \alpha\\ B \sin \alpha\\ 0 \end{array}\right|$\quad avec $\alpha$ l'angle relatif entre les deux vecteurs. Le module de $\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{B}} $est : \begin{eqnarray*} \| \overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{B}} \| & = & \sqrt{(B \cos \alpha)^2 + (B \sin \alpha)^2 + 0^2}\\ & & \\ & = & \sqrt{B^2 \cos^2 \alpha + B^2 \sin^2 \alpha^{}}\\ & & \\ & = & \sqrt{B^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^{}}\\ & & \\ & = & \sqrt{B^2} = | B | \end{eqnarray*} Les composantes en z sont nulles puisque les vecteurs sont par hypoth{\`e}se trac{\'e}s dans le plan $x 0 y$ Calculons le produit vectoriel : Rappel : $\vec{\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A_x\\ A_y\\ A_z \end{array}\right| \wedge \vec{\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} B_x\\ B_y\\ B_z \end{array}\right| = \vec{\mathbf{C}} \left|\begin{array}{c} A_y B_z - A_z B_y\\ A_z B_x - A_x B_z\\ A_x B_y - A_y B_x \end{array}\right|$ \ ce qui donne dans le cas pr{\'e}sent : \begin{eqnarray*} \vec{\mathbf{A}} \left|\begin{array}{c} A_{}\\ 0\\ 0 \end{array}\right| \wedge \vec{\mathbf{B}} \left|\begin{array}{c} B \cos \alpha\\ B \sin \alpha\\ 0 \end{array}\right| & = & \vec{\mathbf{C}} \left|\begin{array}{c} 0 \times 0 - 0 \times B \sin \alpha\\ 0 \times B \cos \alpha - A \times 0\\ A_{} B \sin \alpha - 0 \times_{} B \cos \alpha \end{array}\right|\\ & & \\ & = & \vec{\mathbf{C}} \left|\begin{array}{c} 0\\ 0\\ A_{} \times B \times \sin \alpha \end{array}\right| \end{eqnarray*} Nous voyons que le produit vectoriel est un vecteur de composantes x et y nulles, et de composante en $C_z = A_{} \times B \times \sin \alpha$ Le module de $C_z $ est $\sqrt{0^2 + 0^2 + (A_{} \times B \times \sin \alpha)^2} = A_{} \times B \times \sin \alpha$ Conclusion : \begin{tabular}{|l|} \hline $\| \vec{u} \wedge \vec{v} \| = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \sin (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$\\ \hline \end{tabular} \ {\tmstrong{{\color[HTML]{008000}Question :}}} Quand le produit vectoriel est-il nul (si $\vec{\mathbf{A}}, \vec{\mathbf{B}}$ ne sont pas nuls) ? Le produit vectoriel s'annulle lorsque $\sin \alpha$ = 0 c'est {\`a} dire lorsque $a = 0 + k \pi$ (lorsque les vecteurs sont colin{\'e}aires). \subsubsection{Quelques propri{\'e}t{\'e}s du produit vectoriel} \begin{itemizedot} \item produit vectoriel d'un vecteur par lui-m{\^e}me : \end{itemizedot} \begin{eqnarray*} \vec{\mathbf{A}} \exterior \vec{\mathbf{A}} & = & \left|\begin{array}{c} A_y A_z - A_z A_y\\ A_z A_x - A_x A_z\\ A_x A_y - A_y A_x \end{array}\right|\\ & & \\ & = & \left|\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right| = \vec{0} \end{eqnarray*} \begin{itemizedot} \item produit mixte nul : \end{itemizedot} \begin{eqnarray*} \vec{\mathbf{A}} . (\vec{\mathbf{A}} \exterior \vec{\mathbf{B}}) & = & \left|\begin{array}{c} A_x (A_y B_z - A_z B_y)\\ A_y (A_z B_x - A_x B_z)\\ A_z (A_x B_y - A_y B_x) \end{array}\right|\\ & & \\ & = & \left|\begin{array}{c} A_x A_y B_z - A_x A_z B_y\\ A_y A_z B_x - A_y A_x B_z\\ A_z A_x B_y - A_z A_y B_x \end{array}\right| = \vec{0} \end{eqnarray*} \ Forts de ces bases sur les vecteurs nous pouvons maintenant aborder les espaces vectoriels (avec des exemples en th{\'e}orie du signal...) puis les champs de vecteurs (et le calcul diff{\'e}rentiel qui les concerne) ce qui en d{\'e}finitive nous permettra d'{\'e}tudier les lois de l'{\'e}lectromagn{\'e}tisme (en particulier les {\'e}quations de Maxwell) et le rayonnement {\'e}lectromagn{\'e}tique. - boudiouuu c'est pas simple ! -pour l'instant si ! c'est apr{\`e}s que {\c c}a va se g{\^a}ter... \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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Voici deux programmes perso, en C++ Qt4 utilisés pour le dessin des vecteurs dans cet article.
Le premier permet de dessiner des vecteurs 2D, le second des vecteurs en 3D.
Dans les fichiers .tar.gz vous trouverez l'intégralité des sources ainsi que les programmes compilés (exécutables) pour linux.

2 Saisie d'écran du programme Vecteurs_2D

3 Saisie d'écran du programme Vecteurs_3D

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