Espaces Vectoriels
Dernière modif : 24/07/2016
Les Espaces vectoriels. Définition, exemples, propriétés. Famille libre et génératrice. Base et dimension.



\documentclass{beamer} \usepackage[english]{babel} \usepackage{amsmath,bbm,theorem} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newcommand{\tmop}[1]{\ensuremath{\operatorname{#1}}} \newcommand{\tmstrong}[1]{\textbf{#1}} \newenvironment{itemizedot}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiii}{$\bullet$}\renewcommand{\labelitemiv}{$\bullet$}}{\end{itemize}} \newenvironment{itemizeminus}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$-$}\renewcommand{\labelitemii}{$-$}\renewcommand{\labelitemiii}{$-$}\renewcommand{\labelitemiv}{$-$}}{\end{itemize}} {\theorembodyfont{\rmfamily}\newtheorem{note}{Note}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \title{Espaces vectoriels} \maketitle \section{Premi{\`e}re approche} \subsection{Comparaison avec les vecteurs de la g{\'e}om{\'e}trie} Nous avons vu pr{\'e}c{\'e}demment ce qu'{\'e}taient les vecteurs et nous avons appris {\`a} les manipuler en leur appliquant des op{\'e}rations math{\'e}matiques comme l'addition ou la multiplication par un scalaire. Nous avons vu qu'un vecteur est d{\'e}fini par ses composantes, deux pour les vecteurs du plan, trois pour les vecteurs dans l'espace. Dans un premier temps nous avons consid{\'e}r{\'e} des vecteurs du plan comme ayant deux composantes repr{\'e}sentant des d{\'e}placements dans le plan et les vecteurs dans l'espace trois composantes repr{\'e}sentant des d{\'e}placements dans l'espace. Donc des composantes assimilables {\`a} des longueurs. Et nous avons repr{\'e}sent{\'e} ces vecteurs sur un plan (dans le premier cas) orthonorm{\'e}, c'est {\`a} dire dont le rep{\`e}re est constitu{\'e} par des vecteurs unitaires perpendiculaires et de norme unit{\'e}. Et cette unit{\'e} {\'e}tait de toute {\'e}vidence une unit{\'e} de longueur. Le m{\^e}me type d'unit{\'e} {\'e}tait donc utilis{\'e} pour les composantes des vecteurs et pour les vecteurs unitaires (ce qui est obligatoire et totalement intuitif) mais aussi pour le support graphique sur lequel on dessinait (plan). En est-il toujours ainsi ? Non, et nous en avons eu un exemple avec des vecteurs {\`a} deux dimensions dont les composantes repr{\'e}sentaient des vitesses. Et nous les avions trac{\'e}s sur un plan... Ce plan compos{\'e} de points de l'espace ne repr{\'e}sentait donc non pas des points de l'espace mais des vitesses et les vecteurs unitaires de la base {\'e}taient des vitesses. Nous avons donc cr{\'e}{\'e} une correspondance (bijection) entre deux type d'unit{\'e}s pour le besoin de la repr{\'e}sentation graphique, des vitesses pour l'objet physique et des points d'un plan. Cela peut para{\^i}tre trivial (c'est ce qu'on fait couramment lorsqu'on trace la courbe d'une fonction repr{\'e}sentant une grandeur physique autre qu'une position dans l'espace, comme une temp{\'e}rature ou une tension {\'e}lectrique en fonction du temps). Mais dans le cas des vecteurs cela peut pr{\^e}ter {\`a} confusion. En effet les vecteurs, de par leurs propri{\'e}t{\'e}s comme leur module (norme) et leur {\guillemotleft} direction {\guillemotright} voire par les transformations alg{\'e}briques qu'on peut leur faire subir dont certaines sont de {\guillemotleft} rotations {\guillemotright}, peuvent {\^e}tre confondus avec des objets g{\'e}om{\'e}triques ayant des longueurs et pouvant aussi subir des rotations. Mais alors que les figures g{\'e}om{\'e}triques ont une position dans l'espace les vecteurs n'en n'ont pas. \subsection{Le concept d'Espace Vectoriel} Le concept d'espace vectoriel est une g{\'e}n{\'e}ralisation de celui de vecteurs, mais il permet un bien plus grand degr{\'e} d'abstraction tout en {\'e}tant plus rigoureux de celui des vecteurs de la g{\'e}om{\'e}trie. Nous avons vu en particulier que dans le cadre de la g{\'e}om{\'e}trie, la notion d'orthogonalit{\'e} des vecteurs unitaires n'{\'e}tait pas toujours clairement d{\'e}finie. Dans le domaine des espace vectoriels, au contraire, la notion de base et de famille de vecteurs non li{\'e}s (libres) la constituant ne se r{\'e}f{\`e}rent pas {\`a} une repr{\'e}sentation graphique, et gagne en... solidit{\'e} sur le plan conceptuel (c'est bien, une base solide, non ?) Les espaces vectoriels sont des ensembles d'objets math{\'e}matiques (comme l'ensemble des nombres r{\'e}els, des complexes, des matrices, des fonctions, des solutions d'{\'e}quations diff{\'e}rentielles, ou des polyn{\^o}mes de degr{\'e} inf{\'e}rieur {\`a} N... beaucoup de choses donc, mais pas n'importe quel ensemble) munis de lois (op{\'e}rations), {\tmstrong{v{\'e}rifiant certaines crit{\`e}res}} (que nous allons pr{\'e}ciser) et permettant des manipulations proches de ce qui ce fait avec les vecteurs g{\'e}om{\'e}triques classiques, mais de fa{\c c}on abstraite en s'affranchissant de cette repr{\'e}sentation graphique ambigu{\"e}. De fait les objets d'un espace vectoriel sont appel{\'e}s des {\guillemotleft} vecteurs {\guillemotright} parce que pouvant avoir plusieurs composantes, alors m{\^e}me qu'il peut s'agir de choses bien plus originales qu'un simple vecteur au sens g{\'e}om{\'e}trique du terme. Les op{\'e}rations applicables {\`a} leurs {\'e}l{\'e}ments sont des applications lin{\'e}aires, et la branche des math{\'e}matiques qui en d{\'e}coule s'appelle l'alg{\`e}bre lin{\'e}aire. Remarque : Les vecteurs {\'e}l{\'e}ments d'un espace vectoriel seront repr{\'e}sent{\'e}s le plus souvent par des lettres minuscules et presque jamais avec une fl{\`e}che dessus. \begin{note} Quelques notations math{\'e}matiques utilis{\'e}es ici : \end{note} \begin{tabular}{ll} $\forall$ & quel que soit (pour tout...)\\ $\in$ & appartient {\`a}\\ $\exists$ & il existe\\ $\exists !$ & il existe un unique\\ $\subset$ & est inclus dans\\ $\Rightarrow$ & implique\\ $\Leftrightarrow$ & {\'e}quivaut {\`a} \end{tabular} \section{D{\'e}finition d'un Espace vectoriel} \subsection{Les deux lois} Un espace vectoriel est un ensemble d'objets math{\'e}matiques similaires muni de deux lois : \begin{itemizedot} \item une loi d'addition des {\'e}l{\'e}ments entre eux (+) \item une loi de multiplication (.) des {\'e}l{\'e}ments par un scalaire ext{\'e}rieur {\`a} l'ensemble (ce scalaire peut {\^e}tre un nombre r{\'e}el ou un nombre complexe). \end{itemizedot} \subsection{Propri{\'e}t{\'e}s des deux lois} Soit {\tmstrong{$\mathbf{E}$}} un espace vectoriel. \subsubsection{Loi (+)} La loi d'addition doit {\^e}tre interne {\`a} l'espace vectoriel, c'est {\`a} dire que si $a$ et $b$ sont deux {\'e}l{\'e}ments de \ {\tmstrong{$\mathbf{E}$}} alors $a + b$ doit aussi {\^e}tre {\'e}l{\'e}ment de {\tmstrong{$\mathbf{E}$}}. ($\mathbf{E}$ doit {\^e}tre stable pour la loi +) $\forall (a, b) \in \mathbf{E}^2, (a + b) \in \mathbf{E}$ La loi (+) {\tmstrong{doit}} avoir un {\'e}l{\'e}ment neutre et chaque {\'e}l{\'e}ment doit avoir un {\'e}l{\'e}ment sym{\'e}trique pour la loi (+) appartenant {\`a} $\mathbf{E}$. La loi (+) doit {\^e}tre associative $(a + b) + c = a + (b + c)$ La loi (+) doit {\^e}tre commutative $a + b = b + a$ \subparagraph{Loi (.)}(multiplication par un scalaire externe) Soit {\tmstrong{$\mathbf{E}$}} l'espace vectoriel et $\mathbf{K}$ l'ensemble des scalaires ($\mathbbm{R}$ (r{\'e}els) ou $\mathbbm{C}$ (complexes)) $\forall (a) \in \mathbf{E}^{} \tmop{et} \forall (\lambda) \in \mathbf{K}$ , $\lambda .a \in \mathbf{E}^{}$ Par cons{\'e}quent si l'on fait un combinaison lin{\'e}aire d'{\'e}l{\'e}ments de l'espace vectoriel par les lois (+) et (.) le r{\'e}sultat doit toujours se trouver dans cet espace vectoriel. \ \section{Quelques exemples d'espaces vectoriels (liste non exhaustive):} \begin{itemizeminus} \item Le plus simple : L'ensemble des r{\'e}els muni de la loi + et . On {\'e}crira ($\mathbbm{R}, +, .$) \item L'ensemble des complexes ($\mathbbm{C}, +, .$) \item L'ensemble des polyn{\^o}mes $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \ldots .$ not{\'e} ($\mathbbm{R} [x], +, .$) \item L'ensemble des polyn{\^o}mes de degr{\'e} {\tmstrong{inf{\'e}rieur ou {\'e}gal}} {\`a} n, not{\'e} ($\mathbbm{R}_n [x], +, .$) \item L'ensemble des $n$-uplets $\mathbbm{R}^n$(remarque l'ensemble des triplets nous donne l'espace $\mathbbm{R}^3$classique des vecteurs 3D) \item L'ensemble des fonctions continues. \end{itemizeminus} \section{Combinaison lin{\'e}aire} Prenons deux {\'e}l{\'e}ments $u_1$ et $u_2$ d'un espace vectoriel $\mathbf{E}$. Ces {\'e}l{\'e}ments sont toujours appel{\'e}s vecteurs bien qu'il puisse s'agir de choses diverses comme vu plus haut. On appelle combinaison lin{\'e}aire un {\'e}l{\'e}ment qui peut s'{\'e}crire $u = \lambda u_1 + \mu u_2$ ou d'une mani{\`e}re plus g{\'e}n{\'e}rale $u = \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \ldots . + \lambda_n u_n$ \ \section{Base d'un espace vectoriel :} Une base d'un ensemble vectoriel est une famille de vecteurs {\`a} la fois {\tmem{libre}} et {\tmem{g{\'e}n{\'e}ratrice}} (voir la d{\'e}finition de ces termes ci-dessous). Tout vecteur de l'espace vectoriel s'obtient de fa{\c c}on {\tmstrong{unique}} par combinaison lin{\'e}aire des vecteurs de la base. Un espace vectoriel donn{\'e} poss{\`e}de en revanche une infinit{\'e} de bases possibles. Elles ont toutes exactement le m{\^e}me nombre d'{\'e}l{\'e}ments. Ce nombre est la dimension de l'espace vectoriel, not{\'e} $\dim (\mathbf{E})$. La base dite {\guillemotleft} canonique {\guillemotright} d'un espace vectoriel est la base qui semble {\tmem{{\`a} priori}} la plus simple. \subsection{Famille g{\'e}n{\'e}ratrice} Une famille de $n$ vecteurs $\in$ $\mathbf{E}$est dite g{\'e}n{\'e}ratrice de $\mathbf{E}$ si tout {\'e}l{\'e}ment de $\mathbf{E}$ s'{\'e}crit comme une combinaison lin{\'e}aire de ces $n$ vecteurs. \subsection{Famille libre} Une famille est libre si aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison lin{\'e}aire des autres. c'est {\`a} dire que : $\forall (u_1, u_2 \ldots u_n) \in \mathbf{E}$\quad$[\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \ldots + \lambda_n u_n = 0] \quad \Rightarrow$ \left[$\lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_n = 0$\right] toute combinaison lin{\'e}aire de ses vecteurs qui est nulle implique la nullit{\'e} de tous les coefficients $\lambda_n$. Image : Dans le cas d'un espace vectoriel de dimension 3, qui peut parfois {\^e}tre repr{\'e}sent{\'e} (suivant sa nature) comme l'espace $\mathbbm{R}^3$ habituel, ils ne doivent pas {\^e}tre {\guillemotleft} coplanaires {\guillemotright}). En reprenant l'exemple de l'espace $\mathbbm{R}^3$, les vecteurs de la base doivent-ils {\^e}tre {\guillemotleft} orthogonaux {\guillemotright} ? Non, rien de {\tmem{comparable}} n'est obligatoire. D'ailleurs un espace vectoriel ne poss{\`e}de pas obligatoirement de produit scalaire ni de norme. Oui, mais dans un espace vectoriel de dimension 2, assimilable {\`a} un {\guillemotleft} plan vectoriel {\guillemotright}, les vecteurs de la base doivent-ils {\^e}tre perpendiculaires ? Non, ce n'est ni obligatoire ni toujours d{\'e}fini puisqu'un espace vectoriel ne poss{\`e}de pas obligatoirement de produit scalaire ni de norme. {\tmstrong{Remarque}} : Si une famille de vecteurs constitue une partie libre, alors leur nombre est inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} la dimension $\dim (\mathbf{E})$. Si ce nombre est {\'e}gal {\`a} $\dim (\mathbf{E})$, alors cette famille est une base de $\mathbf{E}$. (Si ce nombre est $< \dim (\mathbf{E})$, alors on peut compl{\'e}ter la famille en y rajoutant des vecteurs libres, afin de rendre ce nombre {\'e}gal {\`a} $\dim (\mathbf{E})$, afin d'obtenir une base de $\mathbf{E}$). {\tmstrong{corollaire}} : Si une famille comprend un nombre de vecteurs $> \dim (\mathbf{E})$ alors elle n'est pas libre. (Elle peut tout {\`a} fait {\^e}tre g{\'e}n{\'e}ratrice de l'espace vectoriel, mais alors les vecteurs de cet espace ne s'{\'e}crivent pas de fa{\c c}on {\tmem{unique}} comme combinaison lin{\'e}aire des vecteurs de cette famille). \ \section{Dimension de l'espace vectoriel (de type fini) :} C'est le nombre d'{\'e}l{\'e}ments (vecteurs) de la base, not{\'e} $\dim (\mathbf{E})$. Il n'est d{\'e}fini que pour les espace vectoriels de type fini (nous verrons plus tard cette notion d'espaces vectoriels finis ou infini). \ \ \ \ \ \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


1 -

A voir également...



Me contacter à propos de cet article :

Question mathématique :

Click to reload image
=
cliquez sur l'image pour un faire autre calcul.




Réponses à certaines de vos questions...
489