Les Applications linéaires
Dernière modif : 24/07/2016
Les applications linéaires dans les espaces vectoriels et leur représentation matricielle.



\documentclass{beamer} \usepackage[french]{babel} %%%%%%%%%% Start TeXmacs macros \catcode`\>=\active \def>{ \fontencoding{T1}\selectfont\symbol{62}\fontencoding{\encodingdefault}} \newcommand{\tmem}[1]{{\em #1\/}} \newenvironment{itemizeminus}{\begin{itemize} \renewcommand{\labelitemi}{$-$}\renewcommand{\labelitemii}{$-$}\renewcommand{\labelitemiii}{$-$}\renewcommand{\labelitemiv}{$-$}}{\end{itemize}} %%%%%%%%%% End TeXmacs macros \begin{document} \title{Applications lin{\'e}aires} \maketitle \ \section{D{\'e}finition} Soit $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ deux espaces vectoriels Soit $\varphi$ une application qui fait correspondre aux {\'e}l{\'e}ments $v_1, v_2 \ldots$ de $\mathbf{A}$ des {\'e}l{\'e}ments $\varphi (v_1), \varphi (v_2) \ldots$ de $\mathbf{B}$. (que l'on appelle les images des {\'e}l{\'e}ments de $\mathbf{A}$ par l'application $\varphi$). soit $\alpha_1, \alpha_2$... des coefficients (scalaires) $\varphi$ est une application lin{\'e}aire si l'on a : $\varphi (\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n) = \alpha_1 \varphi (v_1) + \alpha_2 \varphi (v_2) + \ldots + \alpha_n \varphi (v_n)$ ou d'une mani{\`e}re plus concise : $\forall (v_1, v_2) \in \mathbf{E}^2$ , $\forall \lambda \in \mathbf{K}$ , $\varphi (v_1 + \lambda v_2) = \varphi (v_1) + \lambda \varphi (v_2)$ \subsection{endomorphisme, isomorphisme} Un isomorphisme de $\mathbf{A}$ sur $\mathbf{B}$ est une application lin{\'e}aire bijective. Une application lin{\'e}aire de $\mathbf{E}$ dans $\mathbf{E}$ (d'un espace vectoriel dans lui-m{\^e}me) est appel{\'e}e endomorphisme. \section{O{\`u} rencontre-t-on des applications lin{\'e}aires ?} Les applications lin{\'e}aires sont tr{\`e}s courantes en math{\'e}matiques, par exemple : \begin{itemizeminus} \item en g{\'e}om{\'e}trie vectorielle 2D ou 3D que nous avons survol{\'e} pr{\'e}c{\'e}demment, les sym{\'e}tries, les projections, les rotations sont des applications lin{\'e}aires. \item la d{\'e}rivation et l'int{\'e}gration de fonctions sont des applications lin{\'e}aires. \item la transform{\'e}e de Fourier (que nous avons survol{\'e}e {\'e}galement) est une application lin{\'e}aire. \item la transform{\'e}e de Laplace (tiens, de {\c c}a aussi on a eu un aper{\c c}u). \item en analyse et traitement d'images, reconnaissance de forme : la convolution. \end{itemizeminus} \section{Repr{\'e}sentation matricielle} \subsection{constitution de la matrice repr{\'e}sentative de $\varphi$} Soit deux espaces vectoriels $\mathbf{E}$ (de dimension $n$) et $\mathbf{F}$ (de dimension $p$) Soit $\varphi$ une application lin{\'e}aire de $\mathbf{E}$ dans $\mathbf{F}$ $\varphi : \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{F}$ $\mathbf{E}$ a comme base les {\'e}l{\'e}ments $\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}$ $\mathbf{F}$ a comme base les {\'e}l{\'e}ments $\{ f_1, f_2, \ldots, f_p \}$ L'application lin{\'e}aire $\varphi$ peut alors {\^e}tre repr{\'e}sent{\'e}e par une matrice $\mathbf{M}$ de $n$ colonnes et $p$ lignes Voici {\`a} quoi ressemble cette matrice : les coefficients \ sont donc indic{\'e}s $i j$ avec $i = 1 \ldots p$ en vertical et \ $j = 1 \ldots n$ en horizontal. Ces coefficients seront d'ailleurs {\'e}crits dans cet ordre, colonne par colonne. $\mathbf{M}= \left(\begin{array}{ccccc} m_{11} & \ldots & m_{1 j} & \ldots & m_{1 n}\\ \ldots . & \ldots . & \ldots & \ldots & \ldots\\ m_{i 1} & \ldots & m_{i j} & \ldots & m_{i n}\\ \ldots . & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ m_{p 1} & \ldots & m_{p j} & \ldots & m_{p n} \end{array}\right)$ \ \subsection{calcul des coefficients de la matrice repr{\'e}sentative de $\varphi$} Calculons maintenant ces coefficients. Prenons l'image du vecteur $e_1$ de la base de $\mathbf{E},$cette image est un donc {\'e}l{\'e}ment de $\mathbf{F}$, qui s'{\'e}crit dans la base de $\mathbf{F}$: $\varphi (e_1) = m_{11} f_1 + \ldots + m_{i 1} f_i + \ldots + m_{p 1} f_p$\quad -> ces coefficients seront ceux qui figureront dans la premi{\`e}re colonne de la matrice. nous avons de mani{\`e}re semblable l'image de $e_j$ de $\mathbf{E}$ qui s'{\'e}crit : $\varphi (e_j) = m_{1 j} f_1 + \ldots + m_{i j} f_i + \ldots + m_{p j} f_p$ etc... jusqu'{\`a} l'{\'e}l{\'e}ment $e_n$ qui s'{\'e}crit : $\varphi (e_n) = m_{1 n} f_1 + \ldots + m_{i n} f_i + \ldots + m_{p n} f_p$ Arriv{\'e} {\`a} ce stade nous avons rempli notre matrice. D{\`e}s lors elle nous servira {\`a} calculer l'image de n'importe quel {\'e}l{\'e}ment de $\mathbf{E}$ par l'application lin{\'e}aire $\varphi$ dans $\mathbf{F}.$ \subsection{Calcul des images des {\'e}l{\'e}ments avec cette matrice} Les {\'e}l{\'e}ments de $\mathbf{F}$ s'{\'e}criront : soit $v$ un {\'e}l{\'e}ment de $\mathbf{E}$, calculons son image : $v = \alpha_1 e_1 + \ldots + \alpha_j e_j + \ldots + \alpha_n e_n$ on peut l'{\'e}crire en colonne (sous forme d'une matrice d'une seule colonne dite {\guillemotleft} matrice colonne {\guillemotright} ou {\guillemotleft} vecteur colonne {\guillemotright}): $v = \left(\begin{array}{c} \alpha_1\\ \ldots\\ a_j\\ \ldots\\ a_n \end{array}\right)$ son image dans l'espace vectoriel $\mathbf{F}$ par l'application lin{\'e}aire $\varphi$ sera {\'e}gale au produit de la matrice $\mathbf{M}$ par ce vecteur colonne : $\varphi (v) = \left(\begin{array}{c} \beta_1\\ \ldots\\ \beta_j\\ \ldots\\ \beta_p \end{array}\right) = M \left(\begin{array}{c} \alpha_1\\ \ldots\\ a_j\\ \ldots\\ a_n \end{array}\right)$ =$\left(\begin{array}{ccccc} m_{11} & \ldots & m_{1 j} & \ldots & m_{1 n}\\ \ldots . & \ldots . & \ldots & \ldots & \ldots\\ m_{i 1} & \ldots & m_{i j} & \ldots & m_{i n}\\ \ldots . & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ m_{p 1} & \ldots & m_{p j} & \ldots & m_{p n} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \alpha_1\\ \ldots\\ a_j\\ \ldots\\ a_n \end{array}\right) $ \ Le nombre $n$de {\tmem{colonnes}} de la matrice ({\guillemotleft} sa largeur {\guillemotright}) doit {\^e}tre {\'e}gal au nombre $n$ de {\tmem{lignes}} du vecteur (sa {\guillemotleft} hauteur {\guillemotright}). \subsection{Propri{\'e}t{\'e}s des matrices repr{\'e}sentatives des applications lin{\'e}aires :} \begin{itemize} \item la matrice d'une somme d'applications lin{\'e}aires est la somme de leurs matrices. \item la matrice de la compos{\'e}e de deux applications lin{\'e}aires est le produit de leurs matrices. \item la matrice de la r{\'e}ciproque d'une application lin{\'e}aire bijective est l'inverse de sa matrice. \end{itemize} Ces propri{\'e}t{\'e}s donnent toute la puissance des applications lin{\'e}aires repr{\'e}sent{\'e}es par des matrices. Elles facilitent la manipulation et le traitement math{\'e}matique d'objets complexes dans les domaines d{\'e}j{\`a} cit{\'e}s (imagerie num{\'e}rique, traitement du signal, d{\'e}tection du signal dans le bruit) et bien d'autres (physique, m{\'e}canique quantique, th{\'e}ories de jauge, cryptographie, traitement d'images, calcul d'images de synth{\`e}se en 3D (OpenGL), projection 3D->2D, logiciels d'astronomie, jeu vid{\'e}o, etc, etc...) Nous verrons quelques exemples concrets, mais avant cela il est temps de faire un d{\'e}tour par le calcul matriciel... \ - Alors l{\`a}, c'est s{\^u}r que {\c c}a va devenir compliqu{\'e} ! - Mais non, pas du tout, c'est juste quelques recettes de cuisine, {\c c}a fait beaucoup moins appel {\`a} l'intuition que la r{\'e}solution d'{\'e}quations diff{\'e}rentielles, par exemple. \ \ \ \end{document}
Remarque : J'ai rédigé cet article en Latex avec TexMacs sous Linux. Ensuite, afin de pouvoir l'afficher sur cette page html calculée en php, je l'ai exporté sous forme d'un document au format pdf. Fort bien, mais celà ne suffit pas pour le faire afficher simplement sur une page web. J'ai donc exporté le pdf sous la forme d'une suite d'images jpg, qui sont affichées ci-dessus. L'inconvéniant c'est que vous ne pouvez pas en extraite le texte. Or moi je donne tout. Donc vous trouverez ci-dessous un fichier compressé comprenant le code latex, et le fichier pdf.
  • documents (latex.tex , TexMacs.tex , pdf, images...)


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