Transformée de Laplace




Réponse impulsionnelle d'un « circuit bouchon » (RLC //)

(C'est à dire à une impulsion de Dirac)




Nous connaissons déjà, pour l'avoir calculée précédemment, la fonction de transfert complexe de ce circuit:

en posant

La fonction de transfert opérationnelle est donc:

Appliquons un Dirac de courant en entrée (), dont la tr. de Laplace est



Nous avons vu page:6 que si m<1 on peut écrire le dénominateur sous la forme

et qui sont les valeurs pour lesquelles le dénominateur s'annule sont les pôles de la fraction rationnelle.

Cas où m<1 :

Nous avons calculé page:6 la valeur de et dans le cas où m<1:

Il se trouve que

p
(p-a)(p-b)
est une transformée de Laplace remarquable qui figure dans les tables (ah oui, j'ai oublié de vous dire, lorsqu'on travaille avec les transformées de Laplace, on n'est pas obligé en permanence de réinventer la roue, une fois qu'on a bien assimilé les bases on se sert de tables pour trouver la transformée de Laplace inverse, quand c'est possible)

Donc les tables nous disent:

Toutefois j'ai promis de tout démontrer, donc voici la démonstration: (en supposant nulles les conditions initiales, ce qui est le cas ici):





Et donc:



C'est une fonction sinusoïdale décroissante, la voici tracée avec GNUplot et c'est la partie réelle des racines qui détermine la décroissance (eh oui, GNUplot sait aussi calculer avec des nombres complexes telles les racines dans notre exemple)
Voir le code plus bas sur cette page.








Nous en déduisons notre tension en fonction du temps: (avec Q = charge ou « quantité d'électricité » apportée par l 'impulsion de Dirac)

avec dans le cas de l'impulsion de Dirac et et donc en gardant le produit c'est à dire Je précise cela pour contrôler en fin de calcul l'homogénéité du résultat.



avec:


ainsi que:





Remarques:

  • Nous obtenons une solution réelle, sinusoïdale amortie qu'on peut évidemment écrire sous la forme

Vérifions l'homogénéité du résultat:

Ce qui est tout à fait homogène, puisque Q=C .U

Voici sur le même graphique les tracés en fonction du temps de:

  • en bleu: la fonction « brute » calculée plus haut (équation 1)
  • en vert: le résultat que nous venons d'obtenir en sinus et cosinus (équation 2)

(avec un décalage vertical ajouté de façon à bien distinguer les deux courbes, sans ça elles se superposent exactement)

# RLC bouchon à un Dirac
# valeurs réelles de R, L et C

set samples 1000
set xrange [0:1E-5]
set yrange [-200:200]
set grid

j={0, 1}

R=82.0
L=1E-6
C=10E-9

w=1/sqrt(L*C)
m=(1/(2*R))*sqrt(L/C)
B=sqrt(1-m**2)
C=m/B


suite...
...suite

print "R=",R
print "L=",L*1E6 , " uH"
print "C=",C*1E9 , " nF"
print "m=",m
print "F0=",w/(1E6*2*pi), " MHz"
print "F1=",w/(B*1E6*2*pi), " MHz (pseudo fréquence)"

set multiplot
a=-m*w+j*w*B
b=-m*w-j*w*B

# 3=bleu
f1(x)=100+1E-6*2*R*m*w*(1/(a-b))*(a*exp(a*x)-b*exp(b*x))
plot f1(x) with lines lt 3

#2=vert
f2(x)=-100+1E-6*2*R*m*w*(exp(-m*w*x))*(cos(w*B*x))-(m/B)*(sin(w*B*x))
plot f2(x) with lines lt 2
unset multiplot


Ce résultat m'autorise à penser que je ne me suis pas trompé dans tous ces calculs! En effet je sais par expérience qu'un signe moins a vite fait de se changer en un signe plus, comme un terme du numérateur se retrouve facilement au dénominateur, sans compter une parenthèse mal placée! Cela fait d'ailleurs partie de la loi de Murphy!

Plus sérieusement nous constatons qu'à l'instant zéro la tension aux bornes du condensateur passe instantanément de zéro à une valeur non nulle. Or ça, c'est dit-on interdit, la tension aux bornes d'un condensateur ne peut varier instantanément, il faudrait pour y parvenir fournir un courant infini pendant un instant infinitésimal. Mais c'est justement ce que fait l'impulsion de Dirac, par définition, du moins sur le papier. On voit donc que l'impulsion de Dirac est un concept irréalisable dans la pratique mais qui fonctionne parfaitement sur le plan mathématique. En particulier la transformée de Laplace (mais également Fourier) permet de l'employer fructueusement pour sonder le comportement du réel. L'oscillation amortie que nous obtenons n'a rien d'irréel, c'est en fait le comportement libre du circuit oscillant.

La réponse vue à l'oscilloscope, sachant bien entendu que le signal appliqué n'est pas un vrai Dirac mais juste une impulsion très brève.





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