Transformée de Laplace



Réponse indicielle d'un « circuit bouchon » (RLC //)

C'est la réponse à un échelon de courant du circuit suivant:



Nous connaissons déjà pour l'avoir calculée précédemment la fonction de transfert complexe de ce circuit:

en posant

La fonction de transfert opérationnelle est donc:



Appliquons un échelon de courant, dont la tr. de Laplace est

(En plaçant par exemple le circuit bouchon dans le circuit collecteur d'un transistor monté en émetteur commun et travaillant en classe C, ce qui se rencontre fréquemment dans les émetteurs radio par exemple ou encore dans les alimentations à découpage...)

Traitons cette fraction rationnelle comme nous l'avions déjà fait page7, c'est à dire écrivons le dénominateur sous la forme d'une somme de deux carrés de façon à mettre en évidence la transformée de Laplace d'un sinus et « arrangeons » le numérateur dans le même but:



Rappel:


En faisant et nous obtenons:



La réponse temporelle du circuit bouchon à un échelon unitaire de courant de Dirac est donc:



Voici le tracé (avec GNUplot) de cette fonction du temps ainsi que le listing source pour GNUplot:


#reponse RLC du second ordre à un échelon
#en entrée: valeurs réelles de R, L et C

set samples 1000
set xrange [0:2E-5]
set yrange [-10:10]
set grid

R=22E1
L=1E-6
C=10E-9

w=1/sqrt(L*C)
m=1/(2*R)*sqrt(L/C)
B=sqrt(1-m**2)
C=m/B

suite...

(...suite)


print " "
print "R=",R
print "L=",L*1E6 , " uH"
print "C=",C*1E9 , " nF"
print " "
print "m=",m
print "F0=",w/(1E6*2*pi), " MHz"
print "F1=",w/(B*1E6*2*pi), " MHz (pseudo fréquence)"
print " "


f1(x)=R*2*(m/B)*(exp(-m*w*x))*(sin(w*B*x))
plot f1(x) with lines lt 3


Remarques:

Dans le circuit considéré ci-dessus, la self est idéale c'est à dire que sa résistance série en courant continu est nulle, ce qui explique que la tension tend vers zéro et non vers une valeur palier non-nulle.

Dans la réalité (et en particulier pour les circuits de puissance, à fort courant) il faudrait considérer la résistance ohmique du fil, représentée par une résistance de valeur en série avec la self plutôt qu'une résistance R en parallèle sur L et C.

Et dans ce cas la tension tendrait vers .

Toutefois en HF de faible puissance, la résistance ohmique de la self peut souvent être considérée comme nulle en continu, la résistance en parallèle représentant plutôt les pertes dynamiques magnétiques, par rayonnement et par « effet de peau » (dans L) et diélectriques (dans C) et bien sûr dans la charge éventuellement connectée au circuit.

Si le coefficient d'amortissement est très faible, la diminution d'amplitude d'une période à la suivante est aussi très faible. Il est alors possible d'entretenir l'oscillation par l'application de très fins créneaux de courants (des « tops ») à la fréquence de résonance du circuit (cas du fonctionnement en classe C) voire à un sous multiple de la fréquence de résonance (ce qui permet en fait d'obtenir un multiplicateur de fréquence). Les très fins créneaux de courants en question s'apparentent de fait à des impulsions de Dirac. Le calcul de la réponse impulsionnelle du circuit bouchon semble dans ce cas plus approprié.




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