Transformée de Laplace


Réponse indicielle d'un système du second ordre



Etudions la réponse à un échelon de tension de ce circuit RLC série:
(par exemple, ou de tout autre circuit ayant la même fonction de transfert du second ordre)



Nous connaissons déjà pour l'avoir calculée précédemment la fonction de transfert opérationnelle de ce circuit:

en posant

Appliquons un échelon de tension unité en entrée (), dont la tr. de Laplace est



Décomposons cette fraction rationnelle en éléments simples:



Calculons les coefficients A, B et C par égalisation des numérateurs:

On peut donc écrire:




A noter au passage que le logiciel libre Xcas nous trouve le même résultat:



A ce stade du calcul nous voyons que nous avons un en numérateur il serait donc préférable d'avoir la différence de deux carrés au dénominateur ce qui admettrait des fonctions cosinus comme solution.

Rien de plus simple!

posons:

puis calculons

Cas

Si on peut écrire sous la forme:

ce qui donnera une solution dite de régime oscillatoire.

(pour m>1 on obtient et il n'y a pas d'oscillations)

Mais restons dans le cas m<1:







rappel:


Nous en déduisons:



en faisant dans cette dernière expression: et

Nous obtenons le second terme de notre expression.


Voyons maintenant le troisième et dernier terme:



Nous obtenons ainsi l'expression de la réponse temporelle du circuit:





La somme du sinus et du cosinus peut s'écrire E

Voir la démonstration



Nous obtenons:


Remarque:

est appelée la pseudo-pulsation.

Voici l'allure de cette réponse temporelle pour diverses valeurs du paramètre
graphique tracé avec le logiciel libre GNUplot sous Linux Ubuntu (à côté du graphique je fournis le code source pour GNUplot)

#reponse RLC du second ordre à un échelon
set samples 1000
set xrange [0:0.003]
set yrange [0:1.8]
set grid
set multiplot

w=2*pi*2000
m=2
B=sqrt(1-m**2)
C=m/B
f1(x)=1-(exp(-m*w*x))*(cos(w*B*x)+C*sin(w*B*x))
plot f1(x) with lines lt 3

w=2*pi*2000
m=0.99
B=sqrt(1-m**2)
C=m/B
f1(x)=1-(exp(-m*w*x))*(cos(w*B*x)+C*sin(w*B*x))
plot f1(x) with lines lt 1

suite...>
(...suite)

w=2*pi*2000
m=0.5
B=sqrt(1-m**2)
C=m/B
f1(x)=1-(exp(-m*w*x))*(cos(w*B*x)+C*sin(w*B*x))
plot f1(x) with lines lt 5

w=2*pi*2000
m=0.15
B=sqrt(1-m**2)
C=m/B
f1(x)=1-(exp(-m*w*x))*(cos(w*B*x)+C*sin(w*B*x))
plot f1(x) with lines lt 2

unset multiplot


L'amplitude de l'oscillation décroit suivant la loi 1-exp(-mωt) et tend vers 0 lorque t -> infini.
Le signal de sortie converge alors vers la valeur constante du palier de tension appliqué en entrée. Ce qui permet d'appliquer les résultats de ce calcul dans le cas d'un signal périodique carré de période suffisamment longue pour qu'on puisse considérer que chaque palier n'influe pas sur les autres. (L'amplitude de l'oscillation devenant négligeable avant le changement de niveau).

Seules les courbes qui dépassent le palier y=1 puis oscillent correspondent aux valeurs de m<1.
Les autres qui ne comportent pas d'oscillations correspondent à des valeurs de m>1 (pour lesquelles la forme mathématique du signal de sortie est légèrement différente)
La courbe en rouge qui permet d'atteindre le palier le plus rapidement possible sans le dépasser ni osciller s'obtient pour m=1.


Voici la réponse de ce circuit à un signal carré, vue à l'oscilloscope.




On démontre que le taux de dépassement qui est égal à l'amplitude de la première oscillation, ne dépend que du facteur d'amortissement m.
Lorsqu'on désire obtenir un temps de réponse le plus rapide possible il faut faire un compromis entre taux de dépassement et temps de réponse. Un compromis assez courant consiste à tolérer un dépassement de 5% ce qui correspond à m=0.69 comme on peut le voir sur la figure suivante: (chaque petite graduation = 5%)


#reponse RLC du second ordre à un échelon
# depassement 5%

set samples 1000
set xrange [0:0.002]

set yrange [0:1.8]
set mytics 4

set grid


w=2*pi*2000
m=0.69
B=sqrt(1-m**2)
C=m/B
f1(x)=1-(exp(-m*w*x))*(cos(w*B*x)+C*sin(w*B*x))
plot f1(x) with lines lt 3






Liens externes:



Silicium628