Transformée de Laplace

Réponse impulsionnelle d'un circuit RLC

(C'est à dire à une impulsion de Dirac)
Calcul par les fractions rationnelles



Dans le cas présent nous appliquerons une impulsion de tension à l'entrée et étudierons la tension en sortie, dans le cas où les conditions initiales sont nulles.

Nous connaissons déjà pour l'avoir calculée précédemment la fonction de transfert complexe de ce circuit:

on pose

Il suffit de remplacer par pour obtenir la fonction de transfert opérationnelle (sans avoir remplacé , ne mélangeons pas les choses!)

Appliquons un Dirac de tension en entrée (), dont la tr. de Laplace est

Nous allons décomposer cette fraction rationnelle en éléments simples:

et qui sont les valeurs de pour lesquelles le dénominateur D s'annule sont appelés les pôles de la fraction rationnelle.

Détermination de

Multiplions les deux membres par

puis faisons

Nous obtenons ainsi:

et d'une manière analogue:

et , les pôles de la fraction rationnelle, sont les racines de l'équation du second degré D=0.

Cas où m>1

Si alors et l'équation admet deux racines réelles. Les deux pôles sont alors réels:

démonstration:

le calcul de est identique en remplaçant + par .

Calcul de

et donc:

Nous obtenons la transformée de Laplace suivante:

Nous en déduisons la réponse temporelle du circuit


on peut sortir un sinus hyperbolique de cette expression:


Démonstration:

Remarque: j'utilise une propriété de linéarité de la transformée de Laplace inverse que je n'ai pas démontrée, mais dont la démonstration ne pose aucun problème. Les spécialistes préciseront qu'il faut exclure les fonctions zéro du champ d'application de la transformée de Laplace sans quoi la transformée de Laplace inverse n'est pas unique. ( m'enfin! )

soit:

C'est le produit d'une exponentielle décroissante par un sinus hyperbolique:






Cas où m<1

Si alors et l'équation admet deux racines imaginaires conjuguées. Les deux pôles sont alors imaginaires conjuguées:

démonstration:

Calcul de

un calcul analogue montre que:

Nous obtenons la transformée de Laplace suivante:




Nous en déduisons la réponse temporelle du circuit

C'est une sinusoïde amortie.

Voici, tracé avec le logiciel libre GNUplot, l'aspect de ces courbes pour diverses valeurs du facteur d'amortissement m:



Démonstration:




rappel:




en soustrayant membre à membre il vient:



Nous voyons précisément par ce calcul, de quelle manière apparait l'oscillation lorsque devient inférieur à 1: L'exponentielle complexe se décompose en un sinus au lieu d'un sinus hyperbolique.

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