Transformée de Laplace


Réponse indicielle d'un circuit RC


C'est la réponse (le signal de sortie) à la fonction de Heavicide (échelon unité) en entrée du circuit


- Circuit passe bas du premier ordre:


Nous avions déjà calculé la fonction de transfert complexe de de circuit, refaisons ce calcul pour la fonction de transfert opérationnelle:

posons



Appliquons un échelon unitaire à l'entrée dont la transformée de Laplace est

Calculons le signal de sortie

Nous obtenons une fraction rationnelle qu'il nous faut factoriser de façon à l'écrire sous forme d'une somme de sa partie entière et d'une combinaison linéaire de ses éléments de première espèce et d'une combinaison linéaire de ses éléments de seconde espèce...

Dans le cas présent il est évident que nous pouvons écrire sous la forme:

=

Réécrivons notre « évidence » sous cette nouvelle forme:

Ces deux fractions égales ayant même dénominateur, on en déduit qu'elles ont des numérateurs égaux:

Et plus précisément:

On en déduit l'égalité des coefficients des puissances de (ici n'apparait qu'a la puissance 0 et 1, mais il peut aussi apparaitre à des puissances plus élevées , )

Nous obtenons donc:

ainsi que:

Nous pouvons dès lors écrire sous la forme:

Nous obtenons une somme dont chacun des termes admet une transformée inverse de Laplace que nous avons déjà vue:

En effet nous savons que:

et que:

et donc (en changeant en ):

Nous en déduisons le signal de sortie

(en faisant ):

Voici le graphe de cette réponse temporelle:

Ce circuit RC est également appelé intégrateur. Il permet, dans le domaine impulsionnel, d'obtenir facilement un retard à partir d'un signal logique, en mettant en forme sa réponse avec un circuit logique pourvu d'un hystérésis en entrée (40106 par exemple).


Nous avions déjà calculé ICI cette réponse d'un circuit RC à un échelon de tension par deux manières différentes. Cette troisième méthode qui nous donne bien évidemment le même résultat nous a évité de résoudre une équation différentielle. C'est en cela que réside la puissance de la transformée de Laplace.



II  - Réponse indicielle d'un circuit RC passe haut:

C'est la réponse (le signal de sortie) à la fonction de Heavicide (échelon unité) en entrée du circuit suivant:



Le signal de sortie étant pris cette fois aux bornes de la résistance.

Les conditions initiales sont supposées nulles (en particulier la tension aux bornes du condendateur = 0  pour t<=0)

Calcul pour la fonction de transfert opérationnelle:

Appliquons un échelon unitaire à l'entrée dont la transformée de Laplace est

Calculons le signal de sortie

Calcul de la transformée de Laplace inverse:

Nous savons que:

Posons

Nous en déduisons le signal de sortie

Voici le graphe de cette réponse temporelle:



Ce circuit est aussi appelé différenciateur: il permet comme on le voit, dans le domaine impulsionnel d'obtenir facilement... des impulsions (qu'on peut facilement mettre en forme avec un circuit logique pourvu d'un hystérésis en entrée, 40106 par exemple...) à partir d'un signal carré.



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