Transformée de Laplace

Propriétés - Transformées de fonctions simples





Démonstration:





(Propriété de linéarité)

Démonstration:





(Transformée de Laplace de la dérivée)

Démonstration:

intégration par parties:



La dériation est donc remplacée par une simple multiplication par un nombre!
On démontre pareillement que l'intégration est remplacée par une division.


Démonstration:

si alors nous pouvons écrire:





Démonstration:

après soustraction membre à membre nous obtenons:

ce qui permet d'écrire:







Démonstration:

après addition membre à membre nous obtenons:

ce qui permet d'écrire:




  (Propriété de translation)

Démonstration:

posons:

posons


(Système du second ordre)

Nous avons vu que:

soit

or nous venons de voir que

dans cette dernière expression, si nous remplaçons par la fonction choisie au départ, nous obtenons:

Ce résultat est remarquable et permet d'épargner bien des calculs de fractions rationnelles aux électroniciens.



Théorème du retard  (également dénommé deuxième propriété de translation)

soit les fonctions et

avec

est « en retard » sur


La fonction peut être quelconque bien entendu.


Démonstration:

on pose

car




On voit que les fonctions analytiques, fonctions variables du temps,  sont remplacée par de simples nombres!
La dérivation et l'intégration sont remplacées par une multiplication et une division.

Nous possédons dorénavant une boîte à outils bien garnie, nous allons pouvoir commencer à travailler!
Nous définirons tout d'abord la transmittance de Laplace d'un système et les impédances opérationnelles des composants R, L C.




lien externe:


Silicium628