Série de Fourier

Approche graphique


Soit la fonction sinusoïdale:

f(x)= sin(x)

Ajoutons lui la fonction:

g(x)=1/3 sin (3x)

de fréquence 3 fois plus grande et d'amplitude trois fois plus petite

Puis ajoutons:

h(x)=1/5 sin (5x)

Puis ajoutons:

i(x)=1/7 sin (7x)

Puis ajoutons:

j(x)=1/9 sin (9x)

Puis ajoutons:

k(x)=1/11 sin (11x)

etc...

La courbe obtenue s'éloigne de plus en plus de la sinusoïde pour se rapprocher d'un rectangle dont les fronts de montée et de descente sont de plus en plus raides.

Si nous ajoutons des sinusoïdes suivant cette progression, en nombre infini, nous obtenons effectivement une fonction rectangulaire.

 


On peut obtenir n'importe quelle fonction périodique (rectangle, dent de scie, triangle, etc...) en choisissant judicieusement les coefficients pour les amplitudes et les fréquences.

Réciproquement ont peut décomposer n'importe quelle fonction périodique en une somme de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de celle de la fonction de départ, cette ensemble de fonctions formant ce qu'on appelle un développement en série de Fourier.

Toutefois la fonction de départ doit satisfaire à  certaines conditions dites conditions de Dirichlet (fonction définie, périodique, continue ou comprenant un nombre fini de discontinuités.

Nous allons voir de quelle manière on peut calculer les coefficients, connaissant la fonction à  obtenir.

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