Filtre passe-bas du second ordre







Calcul de la fonction de transfert:

Si la sortie n'est pas chargée, le courant est le même dans les trois éléments en série R, L et C

Le courant complexe est donc:

et la fonction de transfert complexe:

on pose

Pourquoi? afin de s'affranchir des valeurs particulières de R, L et C et donc d'obtenir une formulation générale, on dit aussi normalisée.

  • (mais aussi de résonance, suivant la valeur de m)
  • est appelé le facteur d'amortissement

La fonction de transfert complexe s'écrit alors (sachant que )

En effet, (histoire de ne rien laisser dans l'ombre,  des raccourcis un peu rapides sont parfois décourageants):

Nous allons maintenant tracer la réponse en amplitude en fonction de la fréquence de ce filtre, c'est ce qu'on appelle le diagramme de Bode. C'est la courbe du module (au sens vu pour les nombres complexes) de la fonction de transfert. Calculons donc ce module:

Posons

Le module, qui est égal à  la racine carrée de la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire, voir les pages sur les nombres complexes, (et Pythagore) est donc:

Voici cette courbe de réponse en échelles linéaires:

Les différentes courbes correspondent à  différentes valeurs de la constante m:


couleur
m
bleu 0,25
vert 0,45
violet 0,707 (1/2 racine de 2)
jaune 1
orange 1,5
rouge 3

En abscisses, x=ω/ω0
Rappel: ω (pulsation)= 2 pi * f  (fréquence)
Pour les faibles valeurs de m on a affaire à  un circuit résonnant... qui résonne, l'amplitude de sortie devient supérieure à celle d'entrée pour ω=ω0.


Voici maintenant les courbes 20 Log (T)  avec échelle logarithmique pour la fréquence réduite (ω/ω0 en x) et échelle de tracé linéaire pour y, mais comme on trace 20 Log(T), cela revient à tracer T (sur l'axe Y) en échelle logarithmique également.

C'est ce qu'on appelle le DIAGRAMME DE BODE:


Les différentes courbes correspondent à  différentes valeurs de la constante m:

En abscisses, x=ω/ω0 en échelle log
En ordonnées 20 Log (T)

On constate qu'au delà de la fréquence de coupure, la pente des courbes est de -40dB / décade

D'une manière générale les pentes obtenues sont de 20*n dB/décade, n étant l'ordre du filtre.

Voici le listing pour le tracé avec GNUplot:
set samples 1000
set xrange [0.01: 200]
set logscale x
set grid
f1(x)=20*log10 (1/sqrt( (1-x**2)**2 +(0.15*x)**2))
f2(x)=20*log10 (1/sqrt( (1-x**2)**2 +(0.3*x)**2))
f3(x)=20*log10 (1/sqrt( (1-x**2)**2 +(0.707*x)**2))
f4(x)=20*log10 (1/sqrt( (1-x**2)**2 +(1*x)**2))
f5(x)=20*log10 (1/sqrt( (1-x**2)**2 +(3*x)**2))
plot f1(x) with lines lt 1 ,f2(x) with lines lt 2 ,f3(x) with lines lt 3 ,f4(x) with lines lt 4 ,f5(x) with lines lt 5