Filtre RC - passe bas d'ordre 1







Calcul de la fonction de transfert:

soit

Si la sortie n'est pas chargée (aucune charge connectée en sortie, ou une charge de très grande impédance qui ne perturbe pas le filtre) le courant est le même dans la résistance et le condensateur. De ce point de vue, ces deux éléments sont connectés en série et dans ce cas on peut ADDITIONNER leurs impédances complexes afin de connaître l'impédance équivalente vue de l'entrée qui est donc égale à

On peut alors calculer le courant en fonction de la tension appliquée

La tension de sortie du filtre, qui est la tension aux bornes du condensateur, est égale au produit de ce courant par l'impédance complexe du condensateur:

La fonction de transfert complexe T du filtre est égale au rapport de

Afin de simplifier grandement les formules, pose

C'est ce qu'on appelle normaliser les formules, qui deviennent universelles pour un type donné de circuit, les valeurs des composants n'apparaissant plus directement.
Remarque: on peut vérifier que RC est bien homogène à un temps, et 1/RC est bien homogène à une fréquence (l'inverse d'un temps)

Nous obtenons:

Dans la fonction de transfert complexe il apparaît ω mais pas ω² ni des puissances supérieures de ω, c'est pour cela que cette fonction est dite du premier ordre.


Module de cette fonction de transfert:

rappel:

si

alors module

argument



Tracé du module de la fonction de transfert - échelles linéaires:


En abscisses ω/ω0

pour ω/ω0 =1 on lit T=0.707... (voir pourquoi ci-dessous)

Cette courbe de réponse se trace habituellement avec une échelle logarithmique pour ω/ω0, sur laquelle apparaissent de nouvelles propriétés (droite, pente -6dB/ octave = -20dB / décade, au delà de la fréquence de coupure)

Je publierai ça prochainement.

On voit pourquoi ce filtre est appelle filtre passe-bas.


Fréquence de coupure à -3dB:

pour nous avons:

Calcul du gain en tension (ici = atténuation) pour

Rappel: par définition le gain en tension est égal, en décibels, à

on vérifie que et donc

Argument de la fonction de transfert:




Voici maintenant les courbes 20 Log10 (T) avec échelle logarithmique pour la fréquence réduite (ω/ω0 en x) et échelle de tracé linéaire pour y, mais comme on trace 20 Log10(T), cela revient à tracer T (sur l'axe Y) en échelle logarithmique également.

C'est ce qu'on appelle le DIAGRAMME DE BODE:




La pente de la courbe au delà de la fréquence de coupure ω =ω0
est égale à -20dB par décade.

Ce tracé a été effectué avec le logiciel libre GNUplot.

En voici le listing:

#courbe filtre RLC passe bas du premier ordre

set samples 1000
set xrange [0.01: 200]
set yrange [-50: 5]
set logscale x
set grid
f1(x)=20*log10 (1/sqrt( 1+x**2))
plot f1(x) with lines lt 3


En conclusion, une seule formule, la fonction de transfert complexe, nous renseigne à la fois sur l'amplitude et sur la phase du signal de sortie en fonction de la fréquence.