Fonction Logarithme Népérien


Définition

La fonction logarithme népérien (ou logarithme de base ) est la primitive de la fonction qui s'annule pour

Propriétés

par définition:

soit un nombre réel tel que on calculera et on trouvera

retenons que:

est un nombre irrationnel (comme ) qui vaut 2,71828.... voir cet article.
Il a un développement en série assez simple qui permet de la calculer avec autant de décimales que l'on veut. Nous verrons ça plus tard.




Tracé de la fonction y=ln(x) dans un repère orthonormé:



(courbe tracée avec le logiciel libre kmplot sous linux,
fonction ln et pas log qui est le log décimal pour ce logiciel)

La courbe passe par zéro pour x=1

en violet: ln(e) =1

La fonction tend vers - l'infini lorsque x tend vers zéro.

ln(x) n'est définie que pour x>0






dérivée de

puis que est la primitive de , sa dérivée est la fonction

Tracé de la fonction y=1/x

C'est la pente de la courbe précédente.
Attention: ces deux courbes ne sont pas symétriques!
La fonction réciproque de Log(x) n'est PAS 1/x (c'est exp(x) comme on va le voir prochainement)






logarithme d'un produit, d'une puissance:

Nous utilisons la dérivée d'une fonction composée.

Rappel:

ce qui montre que est aussi une primitive de au même titre que

Calculons la valeur de la constante C

pour nous avons:

donc

Remplaçons C par sa valeur dans le résultat précédent, nous obtenons:




Cette propriété fondamentale des logarithmes qui consiste à remplacer des multiplications par des additions a débouché
  • sur  l'impression des tables de logarithmes (petit livre plein de tableaux de correspondance entre les nombres de 1 à  10 000 et leur logarithme, permettant de faire rapidement des multiplications avec 6 chiffres significatifs en virgule flottante. Cherchez "Bouvart et Ratinet" (il doit y avoir également d'autres marques déposées), caractéristique, mantisse, sur le net)

  • sur la fabrication de "règles à calcul" extrêmement pratiques avec un peu d'habitude permettant d'effectuer des multiplications en virgule flottante d'une manière plus rapide (quoi que moins précise, trois chiffres significatifs au maximum) que ce qu'on fait actuellement avec une calculatrice. Voici la mienne:
Remarque: Ces règles à calcul étaient très utilisées dans les années 1960 environ par les ingénieurs électroniciens, mais si je vous parle tant des logarithmes ce n'est PAS pour cette raison. C'est pour permettre de définir logiquement la fonction exponentielle qui est essentielle pour la résolution des équations différentielles et donc la résolution des circuits électroniques.


Principe:

Deux règles, une fixe l'autre coulissante, permettent d'ajouter, en les mettant bout à  bout, des longueurs proportionnelles aux logarithmes des nombres inscrits.
Face à  la longueur totale obtenue, proportionnelle au PRODUIT de ces deux nombres, on lit le résultat de la multiplication.

Détail:

 2 (sur la graduation du haut repérée par la lettre A visible sur la photo précédente) x 1,5 (sur la graduation du bas repérée par la lettre B) = 3 (lu à coté du symbole "pi" sur la graduation du haut)

On peut voir aussi sur cette photo que
2 x 2=4
mais aussi que
2 x 1,2 = 2,4

On peut faire aussi des divisions, calculer des carrés et racines carrées, Log et exp, des sin et cos, tangentes...

Autre propriétés qui découlent directement de la propriété fondamentale

et:

et:



Nous allons maintenant nous intéresser à la fonction réciproque de la fonction Logarithme népérien,à  savoir la fonction exponentielle.
Et nous retrouverons alors les nombres complexes et la trigo. On va bientôt pouvoir appliquer tout ça à  l'électronique!