Filtre de Rauch






Rappel:

  • tension différentielle entre les entrées de l'amplificateur opérationnel = 0
  • courants d'entrées de l'ampli OP =0
Nous étudierons le cas où les deux condensateurs ont la même valeur.


Etablissons les 6 équations de base (1 à 6)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Somme des courants entrants au nœud A = nulle:

(6)

Sur cette base nous allons calculer tout le reste:

(1) et (2) ==>

(7)

(6) ==>

(8)

(7) et (8)==>

(9)
(10)
(11)

On multiplie les deux membres par :

(12)

On pose

on pose: 16, 17 et 18:

(16)
(17)
(18)

on obtient:

Occupons-nous de D à présent:



Nous obtenons la fonction de transfert normalisée:






(21)

C'est la fonction de transfert d'un filtre de bande.

Calcul du module:

Posons






pour le module devient

 

On démontre que la bande passante à -3dB est égale à 2mωo soit 2 / R3.C

Remarques:

si R1>>R2 on peut faire l'approximation R = R2, la fréquence ne dépend plus que de R2 et R3 (et C)
Le gain dépend de R1 et R3,
La bande passante dépend de R3 (et C)
Il est alors pratique de choisir  dans l'ordre:
  • La valeur de C en fonction de la gamme de fréquence désirée
  • La valeur de R3 en fonction de la bande passante désirée
  • La valeur de R1 en fonction du gain désiré
  • Puis d'ajuster la fréquence avec R2.
Par la suite on peut ajuster indépendamment la fréquence et le gain.
C'est un montage qui est très utilisé, avec par exemple un ajustable multitours pour R2, permettant de faire varier la fréquence du filtre.
On peut également remplacer R2 par un transistor à effet de champ utilisé en résistance variable, et ainsi faire varier la fréquence avec une tension.

La bande passante peut être très étroite, et la fréquence peut être extrêmement basse, depuis quelques kilohertz jusqu'à quelques hertz voire millihertz, ce qui serait impossible à obtenir avec des filtres passifs LC.

Voici le diagramme de Bode de la fonction  T(ω)/T(ωo) (c'est la partie entre crochets du module de la fonction de transfert):


En abscisses, x=ω/ω0 en échelle log

En ordonnées 20 Log (v/Ri)

Les pentes de part et d'autre de la résonance sont de 20dB/décade.
Les différentes courbes correspondent à différentes valeurs de m.

Plus m est petit, plus la bande passante se rétrécit.

Tracé réalisé avec le logiciel ligre GNUplot.