Equations différentielles d'ordre 2



Définitions:

On appelle équation différentielle linéaire du deuxième ordre toute équation de la forme:

sont trois fonctions continues et (la dérivée de la fonction dérivée)

Si u est la fonction nulle, l'équation est dite homogène.

On appelle équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients constants toute équation de la forme:


Résolution

Cas simple:

Nous allons tout d'abord traiter le cas particulier de l'équation suivante, ne faisant pas apparaître mais seulement mais seulement la fonction et sa dérivée seconde :


c'est à dire

nous savons que et que

donc

Nous voyons que nous sommes très près du résultat.

Essayons la fonctions composée :

La fonction est donc solution de l'équation différentielle du second ordre

Oui mais... La fonction est aussi solution de cette équation différentielle:

et plus généralement les fonctions

sont donc solutions de cette équation différentielle.

en outre la fonction est donc aussi une solution:

est donc aussi solution de cette équation différentielle.

rappel:

est la forme exponentielle d'un nombre complexe

dont est le module (longueur distance au point 0) et l'argument (l'angle)

avec dans notre cas

Remarques:

-Les électroniciens rencontrerons plus précisément avec

-La fonction est équivalente à

avec

(voir la démonstration)

-L'ensemble des solutions de l'équation différentielle représente donc l'ensemble des nombres complexes, c'est à dire le plan complexe. Les mathématiciens diront que l'ensemble des solutions forme un espace vectoriel de dimension deux, un plan vectoriel.

Si on connaît deux solutions qui forment un système libre (toute combinaison linéaire nulle de ces vecteurs implique la nullité des deux coefficients), alors ces deux solutions forment une base du plan vectoriel et la solution générale est la combinaison linéaire des deux solutions qui forment la base:

Dans notre cas, et forment une telle base.

en effet ,

Démonstration:

considérons l'expression

signifie que nous pouvons prendre le cas :

donc implique que

signifie que nous pouvons également considérer le cas :

En conclusion implique que doivent être nuls tous les deux.

et forment donc un système libre.

Et puisque et sont toutes deux solution de l'équation , alors ces deux solutions forment une base du plan vectoriel.

La solution générale de l'équation est donc la combinaison linéaire:

Cas général

équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients constants

L'équation du second degré:

est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle homogène.

Soit le déterminant de l'équation caractéristique

Trois cas se présentent:

  1. :l'équation caractéristique admet deux racines réelles distincte

    alors:

  2. l'équation caractéristique admet une seule racine réelle (dite « double »)

    alors:

  3. l'équation caractéristique admet deux racines complexes distinctes et conjuguées et

    alors: (une sinusoïde croissante ou décroissante)

Développons le cas 3:

racines de

racines complexes de l'équation caractéristique:

posons

Les solutions de l'équation différentielle forment la combinaison linéaire suivante

autre forme équivalente:

Prenons

  • (
  • (-j)(

qui sont deux solutions réelles indépendantes comme base de l'espace vectoriel des solutions

La combinaison linéaire formant l'ensemble des solutions devient:





Comme quoi d'une simple égalité entre une fonction et la dérivée de sa dérivée jaillit une oscillation! Que dis-je? un espace vectoriel d'oscillations à croissance exponentielle! Et ça marche! Les oscillateurs sinusoïdaux (dits "harmoniques") sont basés là dessus (mais pas les oscillateurs à relaxation). Nous étudierons ça.



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