Equations différentielles du 1er ordre



C'est une équation qui fait intervenir

équation différentielle du premier ordre sans second membre:

Elle est de la forme:

Il s'agit donc de trouver une fonction qui soit solution de l'équation

nous savons que (voir page sur la dérivée de )

donc

la fonction est donc une solution de l'équation différentielle en effet:

On vérifie de même que est aussi solution de l'équation

donc:

Toutes les fonctions sont solutions de l'équation différentielle


équation différentielle du premier ordre avec second membre:

C'est le cas général, il s'écrit:


voyons si la fonction est solution?

non, ce n'est pas une solution, toutefois au vu du résultat

on va tenter la fonction


Cette fois ça marche, nous pouvons écrire que les toutes les fonctions:

sont solutions de l'équation différentielle

Comme vous pouvez le voir, lors de la recherche de la solution d'une équation différentielle, on y va parfois à tâtons, mais rassurez-vous, pour les intégrales c'est pire!

Autre remarque: elle est bien utile cette fonction exponentielle, n'est-ce pas? Elle sert à représenter des nombres complexes, à résoudre des équations différentielles...

Dans la plupart des cas rencontrés dans la pratique, il existe des conditions sur la fonction et sa dérivée qui restreignent l'ensemble des solutions à une solution unique.

Nous allons voir cela plus en détail lors du calcul de la charge d'un condensateur par une tension continue à travers une résistance.

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