Fonction de Dirac

Etude analytique

1Définitions

1.1

On appelle fonction (ou plus exactement distribution) de Dirac la fonction :

C'est la limite d'une impulsion rectangulaire d'aire =1 lorsque sa durée tend vers 0 (et par conséquent lorsque sa hauteur tend vers l'infini, ce qui n'en fait pas exactement une fonction). On peut aussi la définir comme la dérivée de la fonction de Heaviside (échelon unité).

1.2

On rencontrera souvent la fonction qui par définition est nulle partout sauf lorsque son argument est égal à , donc pour , c'est à dire

C'est un « Dirac en » , c'est à dire ailleurs qu'à l'origine.

Remarque:

1.3Dirac comme fonction indicatrice

Considérons maintenant le produit d'une fonction par un « Dirac en »

Comme est nulle partout sauf en , on peut écrire que

calculons son intégrale :

or est une constante, c'est la valeur de la fonction en , on peut donc la sortir de l'intégrale, il vient, en posant

or nous avons vu plus haut que par définition

Nous pouvons donc écrire que

L'impulsion de Dirac est donc une « fonction indicatrice », c'est à dire qu'elle permet d'isoler la valeur que prend la fonction à un instant .


Silicium628
3639