Fonction dérivée



Calcul de quelques dérivées:

dérivée de y=x

soit la fonction

y=f(x) =x

calculons sa dérivée

Arrivé à ce stade du calcul il y a deux façons d'opérer: la bonne et la mauvaise.

Voyons tout d'abord la mauvaise: elle consiste à faire tendre tout de suite vers ce qui revient à annuler le numérateur ET le dénominateur simultanément. On se retrouve alors avec la fraction qui n'est pas calculable (on l'appelle d'ailleurs indéterminée). En effet quel que soit , est égal à 0, alors que, d'autre part, quel que soit a, n'est pas calculable sachant toutefois que lorsque le dénominateur d'une fraction tend vers 0, le résultat tend vers (l'infini). Entre 0 et il y a de la marge, il y a en fait la place pour n'importe quelle valeur réelle.

Voyons maintenant la bonne façon de procéder, (qu'il faudra TOUJOURS appliquer): Elle consiste à remarquer que la même valeur se retrouve au numérateur et au dénominateur. On peut donc tout à fait simplifier par cette valeur, (on divise le numérateur et le dénominateur par cette valeur NON NULLE , non nulle tant qu'on considère ) et on obtient pour résultat:

Et la limite de 1 lorsque c'est... 1 quel que soit .

On écrira:

Nous obtenons donc comme fonction dérivé de la fonction qui pour tout renvoie sa propre valeur , la fonction qui pour tout renvoie la valeur 1. C'est une fonction constante. Elle indique que la pente de la courbe d'équation est constante ce qui n'est pas étonnant puisque la courbe en question (dans le plan affine rapporté à un repère orthonormé) est une droite (passant par 0).

Je suis entré dans les détails pour ce premier calcul, on va maintenant passer la seconde vitesse.



dérivée de

soit la fonction

avec a = nombre constant, réel.

Et voilà. Au passage on va utiliser une notation pas très rigoureuse non plus, mais pratique et généralement admise:



dérivée de

(du produit d'une fonction par une constante)

Nous pouvons utiliser ce résultat pour retrouver la dérivée de sachant que nous connaissons la dérivée de qui vaut 1.

la calcul est simple:



dérivée du produit de deux fonctions de

à ne pas confondre avec le produit d'une fonction avec une constante comme vu plus haut.

soit

Astuce: ajoutons la quantité nulle - au numérateur (ce qui ne change rien donc):

Ce qui s'écrit:

C'est un résultat important qu'on appliquera souvent. A commencer par tout de suite!


dérivée d'une fonction composée


soit la fonction composée notée également

comme par exemple dans laquelle et

Calculons le nommbre dérivé de la fonction au point

Pour une bonne lisibilité des calculs nous utiliserons la notation suivante:

Appliquons cette définition à notre fonction composée:

Astuce: posons en remarquant que

ce qui donne     u(a+h)=u(a)+k

reportons cette valeur dans le calcul de A

multiplions numérateur et dénominateur par

Ce résultat nous servira (entre autre) pour démontrer la propriété fondamentale de la fonction logarithme népérien qui consiste à remplacer des multiplications pas des additions.


dérivée de

Ce qui s'écrit:

C'est simple sous cette forme n'est-ce pas? à comparer à ceci:

On retrouve bien sûr le même résultat.


dérivée de

Ce qui s'écrit:




dérivée de

utilisons la dérivée d'un produit de fonctions:

Ce qui s'écrit:

exemple: la dérivée de est

C'est aussi un résultat très important.

Récapitulons:

2




Primitives de ces fonctions:

Ce n'est pas compliqué, il suffit de lire le tableau à l'envers

Les (+k) traduisent le fait que la dérivation de la constante (qui donne 0) ne change pas le résultat

puis en ajustant les constantes afin de trouver le résultat qui nous intéresse:



primitive de

AVEC

Ce n'est pas un parachutage, il suffit de dériver pour retrouver

Remarque: limite de cette formule:

On ne peut pas calculer la primitive de par cette formule, on bute sur un zéro au dénominateur ce qui est interdit, est donne une limite au domaine d'application de la formule comme indiqué plus haut,

Mais d'autres valeurs négatives pour sont-elles permises ? Oui, tout à fait, par exemple

Autre exemple:


Fonction logarithme népérien

Remarque: Aucune de ces fonctions , quel que soit n positif ou négatif différent de 1 ne donne = comme fonction dérivée. Aucune n'est la primitive de

en effet si on fait n=0 dans la formule de la dérivation ci-dessous

on obtient bien -1 comme puissance, mais multipliée par 0

ce qui ne fait visiblement pas la fonction mais une constante nulle, 0.

Mais alors, que vaut la primitive de ? Ce n'est pas une puissance de .

Il faut l'inventer! (enfin d'autre l'ont fait avant nous). On l'appellera la fonction logarithme népérien.

On posera par définition:

et on ajoutera: celle qui s'annule pour (oui parce que toute fonction semblable qui n'en diffère que par l'ajout d'une constante est également primitive de )

Alors, c'est pas beau les maths? L'imagination permet de contourner bien des obstacles.

On étudiera cette fonction et sa réciproque l'exponentielle la prochaine fois.

Note: historiquement la fonction logarithme était connue par ses propriétés (le remplacement des multiplications par des additions comme on le verra) avant d'être définie comme l'intégrale de 1/x. Voir ce lien externe: