Dérivée de la fonction exponentielle


dérivée de la fonction réciproque d'une fonction:

Nous allons en effet en avoir besoin pour calculer la dérivée de la fonction exponentielle

définition de la fonction réciproque d'une fonction , notée

soit alors (y)

conséquence:

calculons la dérivée de :

peut s'écrire

est une fonction composée. on sait calculer sa dérivée (voir page sur les dérivées)

attention à ne pas confondre les -1 et les apostrophes!

nous obtenons le résultat:

On retiendra que la dérivée de la fonction réciproque est égale à l'inverse de la dérivée de la fonction.

Remarque mnémotechnique: graphiquement la dérivée en un point de la fonction représente la pente de la courbe représentative de la fonction en ce point. Pour obtenir la fonction réciproque il faut permuter les axes x et y. Il est alors intuitif de voir que la pente au même point de la courbe obtenue devienne l'inverse de la pente de départ.


rappel: dérivée de la fonction logarithme népérien


dérivée de la fonction exponentielle de base

dérivons, sachant que la dérivée de la fonction réciproque est égale à l'inverse de la dérivée de la fonction,
comme nous l'avons vu plus haut sur cette page:

Résultat: La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée.





dérivée de

est une fonction composée. Appliquons le règle de dérivation des fonctions composées:

Rappel:

nous obtenons: