Le Produit de convolution

Etude analytique

Avertissement 1.

J'ai voulu alléger au maximum l'exposé afin d'éviter de décourager ceux qui ne sont pas tombés dans la marmite des maths étant petits, afin qu'au lieu de nous abandonner en cours de route ils puissent accéder rapidement à la compréhension des choses et au plaisir que cela procure.

Donc il manque des précisions sur les ensembles de définition des fonctions, les limites de validité, et des notations du style « presque partout » ou « pour presque tout » ainsi que la justification des changements de l'ordre des intégrations par exemple.

Pour approfondir ces points essentiels vous pouvez consulter par exemple les plus indigestes des pages « Wikipédia » qui se veulent exhaustives mais dont le principe de navigation par liens hypertextes aboutit vite à noyer le lecteur.

1Définition

Le produit de convolution de deux fonctions et se note . Il est définit par:

Démonstration. de l'équivalence de ces deux écritures :

posons

et par conséquent :

et réécrivons la première définition:

Cette dernière écriture est équivalente à :

c'est ce que nous voulions démontrer.

Remarque 2. Les variables et sont toutes deux des variables temporelles, elles peuvent être réelles ou même () ou complexes .

Remarque 3. Le produit de convolution est commutatif

Démonstration :

Puisque la multiplication dans que dans , nous pouvons écrire :

ce qui peut s'écrire :

ce qui est aussi, par définition, égal à :

donc :

On démontre tout aussi facilement que le produit de convolution est :

  • distributif
  • associatif

2Propriétés

2.1Elément neutre

Attention : ce qui suit n'est rigoureux que dans le cadre des distributions. L'impulsion de Dirac n'est pas à proprement parler une fonction, mais une distribution.

Soit une fonction et une impulsion de Dirac en . Calculons leur produit de convolution:

vaut pour tout différent de et annule la somme.

pour il reste :

ne dépendant pas de on le sort de l'intégrale :

par définition de la distribution de Dirac.

La « fonction » de Dirac est donc l'élément neutre pour le produit de convolution.

2.2translation d'une fonction

Attention : ce qui suit n'est rigoureux que dans le cadre des distributions. L'impulsion de Dirac n'est pas à proprement parler une fonction, mais une distribution.

Soit une fonction et une impulsion de Dirac en . Calculons leur produit de convolution:

vaut pour tout différent de et annule la somme.

pour il reste :

ne dépendant pas de on le sort de l'intégrale :

par définition de la distribution de Dirac.

Résultat :

Le produit de convolution d'une fonction et d'une « impulsion de de Dirac en » a donc pour effet de translater la fonction de .

3Produit de convolution et Transformée de Fourier

3.1Transformée de Fourier d'un produit de convolution :

Soit deux fonctions et dont le produit de convolution est :

Calculons sa transformée de Fourier :

Soit deux fonctions et dont les transformées de Fourier sont (à un facteur multiplicatif près):

Calculons le produit (multiplication) de ces transformées de Fourier :

posons

(et donc )

En résumé :

La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions est égale au produit (multiplication) des transformées de Fourier de chacune d'elles.

3.2Transformée de Fourier du produit de deux fonctions :

Soit trois fonctions , , et telles que soit le produit des deux autres :

Calculons la transformée de Fourier de :

La transformée de Fourier de s'écrit :

La transformée inverse de cette transformée redonne , comme nous l'avons vu :

Remplaçons dans (5) par cette dernière expression :

Changeons l'ordre des intégrations et regroupons les exponentielles :

La partie entre crochets n'est autre que la transformée de Fourier de

Le membre de droite représente le produit de convolution de et

En conclusion la transformée de Fourier du produit (multiplication) de deux fonctions est égale au produit de convolution des transformées de Fourier de ces fonctions.




Silicium628
22221