Forme exponentielle des nombres complexes 1 2 3 (4)

soit le nombre complexe

écrivons le

est la fonction exponentielle de base

1Justification de cette écriture:

nous avons vu que

or le produit sous la forme exponentielle donne:

ce qui est bien la représentation exponentielle de

En outre , on a:

de même

Ces propriétés justifient la notation :

En électronique, on utilisera le plus souvent les nombres complexes sous cette forme exponentielle.

Note 1. En électronique on désigne le nombre imaginaire par la lettre pour ne pas confondre avec le de l'intensité (le nombre d'ampères)

2Représentation complexe d'une grandeur sinusoïdale

Une tension sinusoïdale , de pulsation , d'amplitude U et de phase

s'écrira:

c'est une valeur réelle, sera associée à la valeur complexe :

ou, sous sa forme exponentielle :

Il ne faudra pas perdre de vue que le signal sinusoïdal traité ne constitue que la partie réelle de ce nombre complexe.

Mais alors pourquoi se compliquer la vie en utilisant cette représentation complexe ? Parce que les calculs qui se feront dès lors sur cette valeur complexe se trouveront grandement simplifiés.

Note 2. On peut décomposer la valeur complexe en un produit de deux termes :

Note 3. On représente les grandeurs (tension, intensité) constantes par des lettres majuscules et les grandeurs instantanées par des lettres minuscules.

Note 4. Par comodité d'écriture, on confondra souvent la notation complexe avec sa partie réelle, ainsi on rencontrera la notation , sans la notation devant. Elle est alors sous-entendue. Répétons ici qu'il ne faudra pas perdre de vue que le signal sinusoïdal traité ne constitue que la partie réelle de ce nombre complexe. Une fois les calculs faits sur les valeurs complexes, il suffira de reconsidérer la partie réelle du résultat afin de retouver LA valeur réelle.

Toutefois nous verrons ultérieurement qu'en physique quantique, les caractéristiques des particules se modélisent effectivement par des nombres complexes, et en faisant ainsi leurs propriétés qui parraissent mystérieuses lorsqu'on veut les représenter par des valeurs réelles ne le sont plus du point de vue mathématique. En particulier la « dualité onde-corpuscule ». Je cite Richard Feynman [DUNOD - ISBN 2 10 004934 8 page 8] : « En mécanique quantique il se trouve que les amplitudes doivent être représentées par des nombres complexes. Les parties réelles seules ne suffisent pas ».

3Impédance complexe du condensateur:

soit (on considère que la phase )

Les lois élémentaires de l'électricité donnent:

(la quantité d'électricité (en Coulombs) dans le condensateur est égale au produit de la tension aux bornes par la valeur du condensateur (en Farads))

dérivons cette expression:

or nous savons que

(t est le temps)

donc

en en déduit:

Vous voyez tout le cheminement indispensable que nous avons du faire pour arriver à ce résultat essentiel: obtenir une représentation mathématique d'un composant électronique réactif. Le condensateur, au contraire de la résistance, est parcouru par un courant qui est en quadrature de phase avec la tension présente à ses bornes. Et c'est justement ce comportement complexe qui est compris dans cette formule.

On l'appelle impédance complexe du condensateur.

La prochaine fois nous calculerons l'impédance complexe de l'inductance puis nous les associerons pour voir comment se comporte mathématiquement l'ensemble.

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