Les nombres complexes 1 (2) 3 4

Forme algébrique:

avec: ; ;

est la partie réelle

est pa partie imaginaire

z est un nombre complexe

Autre notation:

Nombre complexe conjugué :

Le nombre complexe conjugué est noté ou parfois

Si , le conjugué de a pour valeur :

Le conjugue a même partie réelle mais une partie imaginaire opposée.

Module

Le module d'un nombre complexe noté est la distance entre le point de coordonnées (a, b) et l'origine (dans le cas de la représention géométrique dans le plan complexe). C'est en quelque sorte la « longueur » du nombre complexe.

Il a pour valeur :

Remarque :

Par conséquent :

Opérations:

Addition:

on additionne donc séparément et respectivement les parties réelles et imaginaires.

Multiplication

ici on oublie pas que donc il faut remplacer par

les calculs algébriques avec les nombres complexes se font donc comme avec les nombres réels à ceci près que lorsqu'on rencontre on le remplace par .

revenons à notre multiplication:

C'est un peu compliqué sous la forme algébrique, aussi on va s'intéresser maintenant à la forme trigonométrique des nombres complexes.


Forme trigonométrique:



Le nombre complexe z peut être représenté par un vecteur

Remarque:

soit l'angle

soit = = OM le module du vecteur (la «norme du vecteur » ou « longueur du segment OM »)

et définissent complètement le vecteur et donc le nombre complexe

On écrira:

est appelé le module de on le notera aussi

est l'argument de



Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle 0AM permettent d'écrire:

or nous avons vu que par définition OA représente la partie réelle de et OB la partie imaginaire. Le nombre complexe est la somme de sa partie réelle et de sa partie imaginaire.

On peut donc écrire (sans oublier qui caractérise la partie imaginaire):

mais on sait aussi que:   

on identifie les termes:      et  

On obtient ainsi la relation qui lie parties réelle et imaginaire (de la notation algébrique) au module et à l'argument de la notation trigonométrique.

Dans l'autre sens, les relations trigonométriques dans le triangle rectangle 0AM nous montrent que:

   (le carré de l'hypoténuse est égal...) et donc  

quant à l'argument on a:      

Sous la forme trigonométrique l'addition devient une somme vectorielle. Ce n'est pratique que si on travaille graphiquement, ce qui est parfois le cas. La multiplication en revanche devient plus simple que sous la forme algébrique. Nous verrons ça sur la page suivante.

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