Charge d'un condensateur




Soit le circuit ci_contre constitué d'une source de tension continue de valeur E„ d'une

résistance R, d'un condensateur C et d'un interrupteur.

Avant l'instant t=0 on considère que l'interrupteur est ouvert et que le condensateur est totalement déchargé ().

A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur.



Que se passe t-il alors? Puisque la totalité de la tension se retrouve aux bornes de la résistance et un courant s'établit donc avec une intensité égale à

Le condensateur commence donc à se charger, la quantité d'électricité qu'il contient augmente suivant la loi

la tension à ses bornes augmente en proportion, suivant la loi

La tension augmente semble-il proportionnellement au temps.

Seulement ce calcul n'est valable qu'à l'instant

En effet dès que la tension augmente, la tension aux bornes de la résistance, qui est égale à diminue, et par conséquence le courant diminue lui aussi. Et donc augmente moins vite. Et de moins en moins vite...

Comment calculer de quelle manière varie ce courant et cette tension en fonction du temps?

En résolvant une EQUATION DIFFERENTIELLE.

En fait il ne faut pas écrire mais considérer les petites variations de qu'on appellera lorsque le temps augmente d'une toute petite quantité et faire tendre ces quantité vers 0.

on écrira

de même pour la tension en fonction de la charge:

ce qui nous donne:

Nous pouvons également écrire une deuxième équation qui lie tension et intensité (loi d'ohm dans la résistance)

En rapprochant ces deux équations, il vient:

Tiens il y a une fonction (t) et sa dérivée dans la même équation, c'est une équation différentielle du premier degré.

Première méthode:

Ecrivons-la sous une forme plus habituelle:

posons

Résolvons l'équation sans second membre associée:

solution de cette équation sans second membre:

la solution générale de l'équation avec second membre devient:

Il s'agit maintenant de déterminer la valeur de la constante K

pour nous avons:

Or nous avons décidé comme condition initiale que au temps le condensateur était déchargé, donc que

Nous pouvons donc écrire que

donc

La solution particulière de l'équation différentielle devient:

En conclusion:



Voici L'allure de la tension en fonction du temps.

Seconde méthode: intégration directe

Cette méthode est applicable lorsqu'on a affaire à une équation différentielle du premier ordre dite à variables séparables, ce qui est le cas ici (on peut séparer les variables temps et tension de part et d'autre du signe égal)

Repartons de l'équation vue plus haut:

séparons les variables u et t

puis intégrons les deux membres:

l'intégrale de 1/x étant ln(x) il vient:

appliquons les conditions initiales: si alors pour trouver la valeur de

l'équation devient:

Nous trouvons le même résultat, comme c'est bizarre!

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