Oscillateur harmonique amorti

Circuit RLC




Soit le circuit ci-contre,

constitué par un condensateur, une self, et une résistance

On suppose le condensateur préalablement chargé par une tension E, par un moyen qui n'est pas représenté ici. A l'instant on ferme l'interrupteur. Que se passe-t-il?

S'il n'y avait pas l'inductance, le condensateur se déchargerait à travers la résistance suivant une courbe exponentielle décroissante. Mais l'inductance de la self va compliquer un peu les choses. Une oscillation peut apparaître...

Concernant le condensateur donc, nous pouvons écrire:

donc

(1)

et pour la résistance:



Concernant la self nous avons:
(2)


Loi des mailles appliquée aux tensions:

(4)

Cuisinons tout ça (on pose afin de ne pas traîner cet indice dans toutes les calculs)

(1) et (2) donnent:

(5)

(1) et (3) donnent:

(6)

avec

plaçons (6) et (5) dans (4) pour obtenir une équation différentielle du second ordre:

que nous allons de suite normaliser:

on pose

on remarque au passage que:

Notre équation différentielle s'écrit alors:

son équation caractéristique est la suivante:

dont le voici le déterminant:

Pour la suite, certaines démonstrations ont été faites sur ma page équations diff   du deuxième ordre


Cas où m>1 

Les racines de l'équation caractéristique sont réelles et valent:

La solution de l'équation différentielle est alors de la forme:

Le condensateur se décharge suivant une exponentielle décroissante, sans oscillations.


Cas où m<1 

Les racines de l'équation caractéristique sont imaginaires et conjuguées:

La solution de l'équation différentielle est alors de la forme:

En cuisinant un tout petit peu plus et en tenant compte des conditions initiales, on trouve les valeurs de et de :

condition initiale: à t=0,



On calcule également:

)

D'où l'équation de la tension :


En particulier pour nous vérifions:




Voici le tracé de la fonction u(t)

Remarque: j'ai un doute sur le fait que la sinusoïde parte sur son maximum. A vérifier.



La tension vue à l'oscilloscope