Oscillateur harmonique




Un exemple classique d'oscillateur harmonique en mécanique est constitué par une masse suspendue à un ressort.

Nous allons étudier son équivalent en électronique: un condensateur préalablement chargé que l'on connecte aux bornes d'une bobine.



Soit donc le schéma constitué par un condensateur parfait (sans pertes ni résistance série) et une self parfaite (bobine constitué par l'enroulement d'un fil de résistivité nulle, supraconducteur, oui c'est ça, et sans perte par rayonnement, un tore, oui par exemple, et sans pertes d'énergie dans le circuit magnétique).

On suppose donc le condensateur préalablement chargé par une tension E, par un moyen qui importe peu et qui n'est pas représenté ici. A l'instant on ferme l'interrupteur. Que se passe-t-il?

La résistance en continu de la bobine étant nulle et le condensateur parfait, on pourrait penser que la fermeture de l'interrupteur va provoquer un court-circuit au conséquences inimaginables sur le plan conceptuel ! Il n'en est rien: en effet dès qu'un courant s'établit, il ne peut le faire, partant de zéro, qu'en augmentant d'intensité. Et cette augmentation de l'intensité, qui n'a justement rien d'un courant continu, provoque une self-induction dans la bobine qui s'oppose à son établissement. L'augmentation de ce courant, et par conséquence l'intensité restera dans des valeurs finies et parfaitement calculables.

C'est ce que je vous propose maintenant: calculer la valeur et l'allure du courant et de la tension en fonction du temps.

(voir également la page sur la charge d'un condensateur où je détaille un peu plus le comportement d'un condensateur)

Concernant le condensateur donc, nous pouvons écrire:

donc

et concernant la self nous avons:

(pas de signe (-) compte tenu du sens du courant que j'ai choisi vers le condensateur)

On obtient:

avec

on pose

Nous obtenons l'équation différentielle du second ordre suivante:

[Note] Je propose ICI sur une autre page de ce site une résolution de cette équation par simulation numérique en 5 lignes de langage C.

dont nous connaissons l'ensemble des solutions:

qui peut s'écrire: (voir ici)

reste à calculer en fonction des conditions initiales, qui sont:

à t=0

A,C et n'étant pas nuls, nous en déduisons que

l'équation devient:

à partir de ce résultat on peut écrire:

L'équation de la tension devient donc:

et celle du courant:

Remarque:

on peut donc écrire sous la forme:

Analyse dimensionnelle:

On vérifie que étant homogène à (et à ) , est homogène à donc à

et par conséquent est homogène à donc à

Ces équations un peu « bizarres » donnant l'intensité sont donc homogènes.


Tracé de la tension et de l'intensité en fonction du temps:


Voici en orange la courbe de la tension, et en bleu celle de l'intensité.

On remarquera que le maximum de l'intensité se produit lorsque la tension est nulle.

L'énergie contenue au départ sous la forme E=1/2C.u² dans le condensateur se retrouve alors dans la self sous forme 1/2 L.i²


Bien entendu dans la réalité les éléments n'étant pas parfaits, il faut tenir compte de la résistance du fil de la bobine, des pertes par rayonnement (qui s'ajoutent à cette résistance). Les oscillations s'en trouvent amorties, et les sinusoïdes voient leur amplitude décroître.
Un nouveau terme apparaît dans l'équation du second degré, comme nous le verrons prochainement.

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